四川省成都石室中学2022届高三数学下学期“三诊”模拟考试试题 理 新人教A版

石室中学高2022届三诊模拟试题（理科）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）21x11．已知集合M{x|x10},N{x|24,xZ},则MN()2A．{1,0}B．{1}C．{1,0,1}D．22．设z1i（i是虚数单位），则z()zA．22iB．22iC．3iD．3i2109103.若多项式xxaa(x1)a(x1)a(x1)，则a（）019109A.9B.10C.9D.104．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等．边．三角形,则这个几何体的体积为()(4)3(8)3A．B．36(8)3C．D．(4)33115．设x0,y0，且4,z2logxlogy，42x2y则z的最小值是（）3A.4B.3C.log6D.2log228x0,6.若为不等式组y0,表示的平面区域，则当t从2连续变化到1时，动直线yx2xyt扫过中的那部分区域的面积为()37A.B.1C.D.2yP447．函数ysin(x)(0)的部分图象如右图所示,设P是图象的最高x点,A,B是图象与x轴的交点,记APB,则sin2的值是()AOB16631616A．B．C．D．656563651\n228．下列命题中:①“xy”是“xy”的充要条件;2②若“xR,x2ax10”，则实数a的取值范围是(,1)(1,);③已知平面,,，直线m,l，若,m,l,lm，则l1x11④函数f(x)()x的所有零点存在区间是(,).其中正确的个数是()332A．1B．2C．3D．49.某教师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法（）A．474种B.77种C．462种D．79种x210．已知函数f(x)xe，方程f(x)tf(x)10(tR)有四个实数根，则t的取值范围为()2222e1e1e1e1A．(,)B．(,)C．(,2)D．(2,)eeee二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于12．下图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有________个.13．已知在平面直角坐标系中，A(2,0),B(1,3),O为原点，且OMOAOB,（其中1,,均为实数），若N（1，0），则|MN|的最小值是；22xy14.已知双曲线C：1a0,b0的右焦点为F,过F且斜率为3的直线22ab交C于A、B两点，若AF4FB,则双曲线C的离心率为2\n15.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数m满足xM(MD)，均有xmD，且f(xm)f(x)，则称f(x)为M上的m高调函数．如果定义域为R的函22数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)xaa，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是.三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：16.（本小题满分12分）1已知向量a(sinx,1),b(3cosx,),函数f(x)(ab)a2.2(1)求函数f(x)的最小正周期T及单调减区间;(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a23,c4,且f(A)1.求A，b的长和ABC的面积.17.（本题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB2，ADEF1.C（Ⅰ）求证：AF平面CBF；（Ⅱ）求三棱锥COEF的体积；DB（III）求二面角的EBCF大小.EOAF18（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对432三关中每个问题回答正确的概率依次为,,,且每个问题回答正确与否相互独立.543(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.3\n19.（本小题满分12分）2各项均为正数的数列a前n项和为S,且4Sa2a1,nN.nnnnn(1)求数列{a}的通项公式;n(2)已知公比为q(qN)的等比数列b满足ba，且存在mN满足n11ba,ba,求数列b的通项公式.mmm1m3n20.（本小题满分13分）22xy3已知椭圆C:1(ab0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.22ab2(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.21（本小题满分14分）a已知f(x)x(a0)，g(x)2lnxbx，且直线y2x2与曲线yg(x)相切．x（1）若对[1,)内的一切实数x，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a1时，求最大的正整数k，使得对[e,3]（e2.71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x,x,,x都有f(x)f(x)f(x)16g(x)成立；12k12k1kn4i*（3）求证：2ln(2n1)(nN)．i14i14\n三诊模拟参改答案(理科)1-10:ABDBBCACAB132611-15:,3,42,5,[1,1]16.（本小题满分12分）1已知向量a(sinx,1),b(3cosx,),函数f(x)(ab)a2.2(1)求函数f(x)的最小正周期T及单调减区间;(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a23,c4,且f(A)1.求A，b的长和ABC的面积.16.解析：(1)f(x)sin(2x)…………（2分）6T,…………………………（4分）5单调递减区间是[k,k](kZ)…………（6分）36(2)f(A)1A;…………………………………………8分）3csinAsinC1CBb2…………（10分）a261S22323.………………………………（12分）ABC217.（本题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB2，ADEF1.C（Ⅰ）求证：AF平面CBF；（Ⅱ）求三棱锥COEF的体积；DB理（III）求二面角的EBCF大小.EO17．（Ⅰ）证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB,AF平面ABCDI平面ABEFAB，CB平面ABEF，∵AF在平面ABEF内，∴AFCB，……………3分又AB为圆O的直径，∴AFBF，∴AF平面CBF.…………………………6分（Ⅱ）解：由（1）知CB面ABEF即CB面OEF，∴三棱锥COEF的高是CB，∴CBAD1,………8分连结OE、OF，可知OEOFEF15\n3∴OEF为正三角形，∴正OEF的高是，………10分211133∴VCBS11，……10分COEFOEF3322120（III）求二面角的EBCF大小为30.1218理.（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),432小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,,,且每个问题回答正确与否相互独立.543(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.18.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,42131＋×7则P1＝5444＝.…………（4分）251419(2)X的取值为0,1000,3000,6000,则P(X＝0)＝＋×＝,55525224213142322121＋×71－3－C23×7P(X＝1000)＝5444＝,P(X＝3000)＝543＝,257522423221213＋C23×4P(X＝6000)＝543＝,15∴X的概率分布列为X0100030006000（10分）.X.X.K]9774P252575159774∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160.……（12分）2525751519.（本小题满分12分）2各项均为正数的数列a前n项和为S,且4Sa2a1,nN.nnnnn(1)求数列{a}的通项公式;n(2)已知公比为q(qN)的等比数列b满足ba，且存在mN满足n11ba,ba,求数列b的通项公式.mmm1m3n2219.解析：(1)4Sa2a1，4Sa2a1nnnn1n1n122两式相减得：4aaa2a2a，…………………………………（2分）n1n1nn1n即(aa)(aa2)0aa2，………………………………（4分）n1nn1nn1n6\na为首项为1，公差为2的等差数列，故a2n1………………………（6分）nnm1n1q2m12m56(2)bnq，依题意得，相除得q1N……（8分）m2m12m1q2m52m11或2m13，代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分）n1n1b7或b3.…………………（12分）nn20.（本小题满分13分）22xy3已知椭圆C:1(ab0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.22ab2(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.20.（本小题满分13分）22xy3已知椭圆C:1(ab0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.22ab2(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.2a22ba22c3x220.解析:(1)由已知得∴C方程：y1（4分）a2b14222cab(2)由题意可设直线l的方程为：ykxm(k0,m0)ykxm222联立x2消去y并整理，得：(14k)x8kmx4(m1)02y14222222则△64km16(14k)(m1)16(4km1)0,28km4(m1)此时设M(x1,y1)、N(x2,y2)∴x1x22,x1x2214k14k22于是yy(kxm)(kxm)kxxkm(xx)m………………（7分）12121212又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，2222y1y2kx1x1km(x1x2)m28km2∴km02xxxx14k12122112由m0得：kk.又由△0得：0m2422显然m1（否则：xx0，则x,x中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有1212一个斜率不存在，矛盾！）……………………………（10分）设原点O到直线l的距离为d,则11m2122SMNd1kxxm(xx)4xx(m1)1OMN121212221k22故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)…………（13分）7\n21理.（本小题满分14分）a已知f(x)x(a0)，g(x)2lnxbx，且直线y2x2与曲线yg(x)相切．x（1）若对[1,)内的一切实数x，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a1时，求最大的正整数k，使得对[e,3]（e2.71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x,x,,x都有f(x)f(x)f(x)16g(x)成立；12k12k1kn4i*（3）求证：ln(2n1)(nN)．2i14i121.解：（1）设点(x,y)为直线y2x2与曲线yg(x)的切点，则有002lnxbx2x2．（*）00022g(x)b，b2．（**）xx0由（*）、（**）两式，解得b0，g(x)2lnx．a由f(x)g(x)整理，得x2lnx，x2x1，要使不等式f(x)g(x)恒成立，必须ax2xlnx恒成立．21设h(x)x2xlnx，h(x)2x2(lnxx)2x2lnx2，x2h(x)2，当x1时，h(x)0，则h(x)是增函数，xh(x)h(1)0，h(x)是增函数，h(x)h(1)1，a1．因此，实数a的取值范围是0a1．1（2）当a1时，f(x)x，x18f(x)10，f(x)在[e,3]上是增函数，f(x)在[e,3]上的最大值为f(3)．2x3要对[e,3]内的任意k个实数x,x,,x都有f(x)f(x)f(x)16g(x)12k12k1k成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当xxx3时不等式左边取得最大值，xe时不等式右边取得最小值．12k1k8(k1)162，解得k13．因此，k的最大值为13．3（3）证明：当a1时，根据（1）的推导有，x(1,)时，f(x)g(x)，112k12k112k12k1即lnx(x)．令x，得ln()，2x2k12k122k12k14k化简得ln(2k1)ln(2k1)，24k18\nnn4iln(2n1)[ln(2i1)ln(2i1)]2．i1i14i19