2022-2022学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={l，2}，B={2，4），则A∪B=（ ） A．{1}B．{4}C．{l，4}D．{1，2，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2}，集合B={2，4}，能求出集合A∪B．解答：解：∵集合A={1，2}，集合B={2，4}，∴集合A∪B={1，2，4}．故选D．点评：本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．（5分）已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2）．若与共线，则实数λ的值为（ ） A．3B．2C．﹣2D．﹣3考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量共线的性质，可得（λ+1）（﹣2）﹣2×1=0，解方程求得λ的值．解答：解：∵已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2），且与共线，∴（λ+1）（﹣2）﹣2×1=0，解得λ=﹣2，故选C．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题． 3．（5分）若tanα=3，则的值为（ ） A．B．1C．﹣lD．﹣3考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：把所求的式子分子分母同时除以cosα，根据同角三角函数间的基本关系化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入可求出值．17解答：解：由tanα=3，则====故选：A．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系的运用，给所求式子的分子分母同时除以cosα，然后利用tanα=把所求的式子化为关于tanα的关系式是解本题的关键． 4．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x+l＜0”的否定是（ ） A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．∃x∈R，x2﹣x+l≥0D．∃x∈R，x2﹣x+l＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣x+l＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．故选A．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 5．（5分）如图是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积是（ ） A．（4+2）cm2B．（6+2）cm2C．（6+）cm2D．（7+）cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原几何体是底面为放倒的直角梯形的直棱柱，依据三视图的数据，求出表面积．解答：解：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，．所以此几何体的表面积S表面=2S底+S侧面=（1+2）×1×2+（1+1+2+）×1=7+（cm2）．17故选D．点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题． 6．（5分）已知直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（ ） A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m∥n，n⊥αD．m⊥n，n⊂α考点：充分条件．专题：阅读型．分析：由n∥n，n⊥α，可推出m⊥α，故“n∥n，n⊥α”是“m⊥α”的一个充分条件．解答：解：∵已知直线m，n和平面α，β，故由n∥n，n⊥α，可得m⊥α，故“n∥n，n⊥α”是“m⊥α”的一个充分条件，故选C．点评：本题主要考查充分条件的定义，属于基础题． 7．（5分）已知函数的图象与x轴的交点分别为（a，0）和（b，0），则函数g（x）=ax﹣b图象可能为（ ） A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a，b的值，函数g（x）=ax﹣b的可能图象可以看成吧y=ax向下平移b个单位得到的，画出函数的简图，结合所给的选项可得结论．解答：解：∵函数的图象与x轴的交点分别为（a，0）和（b，0），则a=2，b=，或a=，b=2．①当a=2，b=时，函数g（x）=ax﹣b即函数g（x）=2x﹣，其大致图象是：17②当a=，b=2时，函数g（x）=ax﹣b即函数g（x）=x﹣2，其大致图象是：故选C．点评：本题主要考查函数的图象的变换规律，函数的单调性和特殊点，属于基础题． 8．（5分）已知，则下列关系正确的是（ ） A．z＜y＜xB．z＜x＜yC．x＜y＜zD．y＜z＜x考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：利用对数函数的性质，化简x，推出x的范围，然后推出y与z的范围并比较大小，从而可得答案．解答：解：∵；y=log53＜1，17z==，因为log53＞log5＞，即y＞z，∴z＜y＜x．故选A．点评：本题考查对数函数的单调性的应用，对数值大小的比较，着重考查对数函数的单调性，属于基础题． 9．（5分）某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h，A设备每天使用时间不超过4h，B设备每天使用时间不起过5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ） A．18万元B．12万元C．10万元D．8万元考点：简单线性规划的应用．分析：设应生产甲、乙两种产品各x，y件，企业获得的利润为z．由已知中的条件，我们构造出满足条件的约束条件和目标函数，然后根据线性规划的角点法求解，即可得到答案．解答：解：设应生产甲、乙两种产品各x，y件，企业获得的利润为z，则则x、y满足的约束条件且z=3x+2y，画出可行域，如图，可知最优解为（2，1），即应生产A产品2件，B产品1件，可使企业获得最大利润，最大利润为8万元．故选D．17点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中将题目中的实际问题转化为约束条件和目标函数，构造线性规划数学模型是解答本题的关键． 10．（5分）已知定义在R上的偶函数g（x）满足：当x≠0时，xg′（x）＜0（其中g′（x）为函数g（x）的导函数）；定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+2）=﹣f（x），在区间[0，1]上为单调递增函数，且函数y=f（x）在x=﹣5处的切线方程为y=﹣6．若关于x的不等式g[f（x）]≥g（a2﹣a+4）对x∈[6，10]恒成立，则a的取值范围是（ ） A．﹣2≤a≤3B．a≤﹣1或a≥2C．﹣1≤a≤2D．a≤﹣2或a≥3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：根据“xg′（x）＜0”和导数与函数单调性的关系，判断出函数g（x）的单调性，再将“g[f（x）]≥g（a2﹣a+4）对x∈[6，10]恒成立”，转化为“|f（x）|≤|a2﹣a+4|对x∈[6，10]恒成立”，再由条件求出函数f（x）的周期、对称轴以及f（﹣5）的值，再得f（﹣1）、f（1）、f（3）的值，再由这些性质画出大致图象，右图象求出函数f（x）在[6，10]上的值域，从而求出最大值，列出关于a的不等式求解．解答：解：∵当x≠0时，xg′（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，当x＜0时，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减，∵不等式g[f（x）]≥g（a2﹣a+4）对x∈[6，10]恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+4|对x∈[6，10]恒成立，由f（x+2）=﹣f（x）得，f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则函数f（x）是以4为周期的周期函数，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），则函数f（x）的对称轴是x=1，17∵在x=﹣5处的切线方程为y=﹣6，∴f（﹣5）=﹣6，即f（﹣1）=f（3）=﹣6，f（1）=6，再结合f（x）在区间[0，1]上为单调递增函数，且f（0）=0，画出大致图象：由上图得，当x∈[6，10]时，f（x）∈[﹣6，6]，由|f（x）|≤|a2﹣a+4|对x∈[6，10]恒成立，得6≤|a2﹣a+4|，即a2﹣a+4≥6或a2﹣a+4≤﹣6，化简得a2﹣a﹣2≥0或a2﹣a+10≤0，解得a≤﹣1或a≥2，故选B．点评：本题是有关函数性质的综合题，考查了导数与函数单调性的关系，函数的奇偶性与单调性关系、对称性、周期性等，考查了转化思想和数形结合思想，难度以及综合程度都很大． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．答案填在答题卡上．11．（5分）设函数f（x）=lnx﹣2x+3，则f（f（1））= 1 ．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：计算f（1），然后再把f（1）再入到函数解析式中进行求解即可．解答：解：由于函数f（x）=lnx﹣2x+3，则f（1）=ln1﹣2×1+3=1，则f（f（1））=f（1）=1．故答案为1点评：本题主要考查了函数的函数值的求解，属于基础题． 12．（5分）已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的半径为 ．考点：球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的直径，即可求出它的半径．解答：解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：=2所以球的半径为：．故答案为：．点评：17本题考查正方体的外接球的半径，解题的关键在正方体的体对角线就是它的外接球的直径，考查计算能力，是基础题． 13．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（其中a、b为正实数）经过圆C：x2+y2十2x﹣4y+l=0的圆心，则的最小值为 9 ．考点：基本不等式；直线与圆相交的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解答：解：圆x2+y2十2x﹣4y+l=0的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0上，所以﹣2a﹣2b+2=0，即1=a+b代入，得（）（a+b）=5++≥9（a＞0，b＞0当且仅当a=2b时取等号）故答案为：9．点评：本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，是中档题． 14．（5分）如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于25的概率为 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：利用程序框图可得所有的结果2（2x﹣1）﹣1＞25，解此不等式求出x的取值范围，是几何概型中的长度类型，由“输入[，19]中的实数x“求出构成的区域长度，再求出不等式求出x的取值范围构成的区域长度，再求两长度的比值．由此求得输出的x大于25的概率．解答：解：根据算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的是2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3，17由4x﹣3＞25，得x＞7．此数大于0.5而小于等于19，则构成的区域长度为：19﹣7=12，在区间[，19]上任取一个数x构成的区域长度为19﹣，输出的x大于25的概率为=；故答案为：．点评：本题主要考查循环结构，概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值． 15．（5分）对抛物线C：x2=4y，有下列命题：①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l1，直线l2过点Q且与l1垂直，则l2一定平分∠RQF．其中你认为是真命题的所有命题的序号是 ①②④ ．考点：命题的真假判断与应用；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①将直线和抛物线联立，解出弦长．②利用直线与抛物线的位置关系进行判断．③设直线方程，联立抛物线进行求解判断．④作出切线，利用抛物线的定义，判断l2是否平分∠RQF．解答：解：①因为抛物线的焦点为F（0，1），直线y=kx+l过焦点F，所以当k=0时，直线l被抛物线C所截得的通径最短，此时为2p=4，所以①正确．②直线y=kx+l过焦点F，且抛物线的准线方程为y=﹣1．所以根据抛物线的定义可知，A，B到抛物线准线的距离之和为AB，所以AB的中点到准线的距离为，所以此时以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切，所以②正确．③当过点P的直线的斜率不存在时，此时为x=2，此时直线和抛物线只有一个交点，此时满足条件的直线只有1条．当过点P的直线斜率存在时，不妨设为k，此时和抛物线只有一个交点的直线有两条切线，所以过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或2条，所以③错误．④因为抛物线的焦点为F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR为直角三角形，由x2=4y，得，求导得，所以切线l1的斜率为k1=1，即直线l1的倾斜角为45°，因为直线l2过点Q且与l1垂直，所以l2一定平分∠RQF．所以④正确．故答案为：①②④．17点评：本题考查了抛物线的定义和性质，以及直线和抛物线的位置关系，综合性较强，运算量较大． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且．a2是a1、a4的等比中项，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn记数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）先等差数列{an}的公差为d（d≠0），根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代入等差数列的通项公式化简即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的公差，代入等差数列的前n项和公式化简，再求出并且裂项，再代入前n项和为Tn化简，根据式子和n的取值范围进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题意得，即，∴（2+d）2=2（2+3d），解得d=2，或d=0（舍），∴an=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴=，∴=，=，∵n∈N*，∴Tn＜1．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和，数列与不等式结合等，属于中档题． 17．（12分）已知向量=（2cosx，2sinx），=（cosx，cosx），设f（x）=﹣1．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．17考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（I）由于函数f（x）=﹣1=2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（Ⅱ）在△ABC中，由于，求得sin（C+）=1，C=．再由acosB=bcosA，利用正弦定理可得sin（A﹣B）=0，A﹣B=0，故A=B=C=，由此可得△ABC的形状．解答：解：（I）由于函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，由于=2sin（C+），∴sin（C+）=1，∴C=．再由acosB=bcosA，利用正弦定理可得ainAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0．再由﹣π＜A﹣B＜π，可得A﹣B=0，故A=B=C=，故△ABC为等边三角形．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性、正弦定理的应用，属于中档题． 18．（12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．（I）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“待整改”，求该车间“待整改”的概率．（注：方差，，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）17考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：题干错误：若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“待整改”，应该是：若两人加工的合格零件数之和不超过17，则称该车间“待整改”，解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由=，＜，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17时，该车间“待整改”，含有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9）这5个基本事件，故该车间“待整改”的概率为=．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，E、F分别为PC、BD的中点．（I）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若G为线段AB的中点，求二面角C﹣PD﹣G的余弦值．17考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接AC，利用三角形中位线的性质，证明EF∥PA，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PAD；（Ⅱ）取AD的中点O，连结OP，OF，以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC的一个法向量、平面PGD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．解答：（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，∵E为PC的中点，∴EF∥PA，∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=，AD=2，∴PA⊥PD，OP=OA=1以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），G（1，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1），∵侧面PAD⊥底面ABCD，AD⊥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA∵PD∩DC=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥平面PCD∴平面PDC的一个法向量为=（1，0，﹣1）设平面PGD的一个法向量为=（x，y，z）∵∴由可得∴可取17∴cos＜＞===∴二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力，属于中档题． 20．（13分）记平面内与两定点A1（﹣2，0），A2（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m＜0）的动点B的轨迹，加上A1，A2两点所构成的曲线为C（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l1交曲线C于M．N两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l2交x轴于点Q，且满足•．试求的取值范围．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），由条件可得mx2﹣y2=4m（x≠±2），对m分m＜﹣1，m=﹣1，﹣1＜m＜0三种情况讨论即可；（Ⅱ）设出直线l1的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，确定|MN|、|PQ|，即可求得结论．解答：解：（I）设动点B（x，y）．当x≠±2时，由条件可得•=•==m即mx2﹣y2=4m（x≠±2）．又A1（﹣2，0）、A2（2，0）的坐标满足mx2﹣y2=4m．当m＜﹣1时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；当m=﹣1时，曲线C的方程为x2+y2=4，曲线C是圆心在原点上的圆；当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；17（Ⅱ）由（I）知，曲线C的方程为+=1．依题意，直线l1的方程为y=k（x﹣1）．代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=∴弦MN的中点为P（，）∴|MN|==直线l2的方程为由y=0，可得x=，则Q（，0），∴|PQ|=∴=∵k2+1＞1，∴0＜＜1∴∴的取值范围为（0，）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强． 21．（14分）已知函数f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex，a∈R．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围；17（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＞1）使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，代入解析式求出f′（x），令f′（x）=0求出临界点，列表讨论f（x）的增区间和减区间，以及函数的极值问题，代入解析式求解；（Ⅱ）由求导公式和法则求出f′（x），将条件转化为：f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，再构造函数g（x）=ax2+（a﹣1）x﹣a，再对a分三类结合二次函数的性质讨论：g（x）≤0在[0，1]上恒成立，利用g（x）图象上的特殊点（0，﹣a）进行判断，再把符合条件的a的范围并在一起；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x2﹣1）ex，假设当x＞1时，f（x）存在[m，n]（n＞m＞1）满足条件，进而问题转化为“（x﹣1）2ex﹣x=0有两个大于1的不等实根”，构造新函数h（x）=（x﹣1）2ex﹣x（x≥1），求出他的导数后，再二次求导判断h（x）的单调性，根据特殊函数值，判断出h（x）的图象与x轴有且只有一个交点，即方程（x﹣1）2ex﹣x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾，故可得证．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（x2﹣2x+1）ex，∴f′（x）=（2x﹣2）ex+（x2﹣2x+1）ex=（x2﹣1）ex，令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=1，列表讨论如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴f（x）的极大值是f（﹣1）=；极小值是f（1）=0．（Ⅱ）由题意得，f′（x）=（2ax﹣a﹣1）ex+[ax2﹣（a+1）x+1）ex=[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex，由f（x）在区间[0，1]上单调递减得，f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，即ax2+（a﹣1）x﹣a≤0在[0，1]上恒成立，令g（x）=ax2+（a﹣1）x﹣a，x∈[0，1]，①当a=0时，g（x）=﹣x≤0在[0，1]上恒成立；②当a＞0时，g（x）=ax2+（a﹣1）x﹣a过点（0，﹣a），即g（0）=﹣a＜0，只需g（1）=a+a﹣1﹣a=a﹣1≤0，就满足条件；解得a≤1，则此时0＜a≤1，③当a＜0时，同理有g（0）=﹣a＞0，∴ax2+（a﹣1）x﹣a≤0在[0，1]上不可能恒成立，综上得，所求的a的取值范围是[0，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x2﹣1）ex，假设当x＞1时存在[m，n]使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，且（n＞m＞1）∵当x＞1时，f'（x）=（x2﹣1）ex＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，∴，即，则问题转化为（x﹣1）2ex﹣x=0有两个大于1的不等实根．设函数h（x）=（x﹣1）2ex﹣x（x＞1），h′（x）=（x2﹣1）ex﹣1，17令φ（x）=（x2﹣1）ex﹣1，∴φ′（x）=（x2+2x﹣1）ex，当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上是增函数，即h′（x）在（1，+∞）上是增函数∴h′（1）=﹣1＜0，h′（2）=3e2﹣1＞0∴存在唯一x0∈（1，2），使得h′（x0）=0，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（1，x0）x0（x0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）单调递减极小值单调递增∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x0）＜h（1）=﹣1＜0∵h（2）=e2﹣2＞0∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴有且只有一个交点，即方程（x﹣1）2ex﹣x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾，故当x＞1时，f（x）不存在[m，n]使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]．点评：本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求最值等，当导数中含有参数时需要分类讨论，考查运算求解能力和推理论证能力；考查化归与转化思想和分类讨论的思想，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点． 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