成都七中2022-2022学年高一下学期期末考试数学试题（特别提醒：请在答题卡上作答！）一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上1.已知，则下列不等式正确的是（C）A．B．C．D．3．等差数列的前项和为，若，，则等于（C ）Ａ．12Ｂ．18Ｃ．24Ｄ．424.已知圆在曲线的内部，则半径的范围是（B）第5题图A．0<<B．0<<2C．0<<2D．0<<45.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（B）A．mB．mC．mD．m6.若，满足约束条件，则的最大值为（D）A．3B．6C．8D．97.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（D）A．2B．3C．4D．58.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为若,则△ABC的形状是（A）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形9.已知直线与,给出如下结论：①不论为何值时,与都互相垂直;②当变化时,与分别经过定点A(0,1)和B(-1,0);③不论为何值时,与都关于直线对称;④当变化时,与的交点轨迹是以AB为直径的圆(除去原点).8\n其中正确的结论有（B）.A．①③B．①②④Ｃ．①③④Ｄ．①②③④10.在△ABC中，分别是,的中点，且，若恒成立，则的最小值为（A）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11.不等式的解集是12.已知直线：.不通过第四象限，则的取值范围是.13.过直线上一点作圆的切线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为.14.若方程有两个实数根，则实数的取值范围是或.15.下列命题：①中，若,则；②若A，B，C为的三个内角，则的最小值为③已知，则数列中的最小项为；④若函数，且，则；⑤函数的最小值为.其中所有正确命题的序号是②③三、解答题（16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）8\n请在答题卡对应位置规范答题.16.是公比大于的等比数列,是的前项和.若,且,,构成等差数列.（Ⅰ）求的通项公式.（Ⅱ）令，求数列的前项和.17．在中，内角、、的对边分别为、、,已知、、成等比数列，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,求、的值.解：（Ⅰ）、、成等比数列,，……2分=………………………6分（Ⅱ）,即,而，所以①，…………8分由余弦定理，2=,，②…………10分由①②解得或.………12分18.已知定义在上的函数(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;8\n（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.18解：（Ⅰ），而，等价于，于是当时，，原不等式的解集为；…………2分当时，，原不等式的解集为；…………4分当时，，原不等式的解集为…………6分（Ⅱ）不等式，即恒成立…………8分又当时，=(当且仅当时取“=”号).…………10分…………12分DACBM19.已知直线:(),圆．（Ⅰ）求证:直线与圆相交；（Ⅱ）判断直线被圆截得的弦何时最短？并求出最短弦的长度;（Ⅲ）如图，已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，求四边形ABCD的面积的最大值.解：直线，所以直线过定点，，在圆内部，所以直线与圆相交。………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线过定点M，当时，弦长最短.…………4分=，此时，的方程为，圆心到直线的距离所以最短弦长为：…………7分8\n分20.已知数列中，（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的最小值.解：（Ⅰ），①，②①-②：，，…………2分即（），又=2，时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列.，故.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，，当时，；当时,,①,②①-②得，=8\n=，又也满足.…………9分21.已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.（Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.解（Ⅰ）设动点的坐标为，则由，得，整理得:.，当时，则方程可化为：，故方程表示的曲线是线段的垂直平分线；··DO·EMNxy当时，则方程可化为，即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.……………5分8\n（Ⅱ）当时，曲线的方程是，故曲线表示圆，圆心是，半径是.①由，及有：两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有:,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作圆的直径，得，，故，.……………9分②解法一：设点到直线的距离为，，则由面积相等得到，且圆的半径.即于是顶点到动直线的距离为定值，即动直线与定圆相切.，所以，由此可得，也即，……………………（※）.假设存在定圆，总与直线相切，则是定值，即与无关，与……（※）对比，有8\n，此时8
