四川省德阳市第五中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题（每题5分，共60分，用铅笔将答案涂在机读卡上）1、在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A．（﹣1，0，﹣1）B．（1，0，﹣1）C．（0，﹣1，1）D．（1，0，﹣1）2、如图是某考生的分数的茎叶统计图，该组数据的中位数和众数依次为（）A．86，84B．84，84C．84，86D．85，863、已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4、若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A．k＝，b＝－4B．k＝－，b＝4C．k＝，b＝4D．k＝－，b＝－45、若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A．1B．5C．D．6、如果直线与直线互相垂直，则a的值等于（）A．2B．－2C．2,－2D．2,0,－27、在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A．B.C.D.8、已知O是坐标原点，点A（-1,1），若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则11\n的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)9、一个多面体的三视图如右图,则该多面体的表面积为（）A.B.C.21D.1810、已知直线是ABC中的平分线所在的直线,若点A、B的坐标分别是,则点C的坐标为（）A.BC.D.11、若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A.B.C.D.12、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当时，函数y=f（x）的值域为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共计20分，请将答案写在二卷上，写在此处概不得分）13、某班有男生25名，女生15名，采用分层抽样的方法从这40名学生中抽取一个容量为8的样本，则应抽取的女生人数为△名14、圆与圆的位置关系为△15、过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为△16、已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；11\n②若PC=5，PC丄平面ABC，则△PCM面积的最小值为；③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为π；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P﹣ABC的体积为2；其中正确命题的序号是．△（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（写在二卷对应方框内，要求写出适当的分析过程，共计70分）17、（10分）教育部、国家体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2022-2022学年高二年级2022年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频率分布表和频率分布直方图：（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；频率分布表分组运动时间（小时）频数频率1[25，30）200.22[30，35）ap3[35，40）200.24[40，45）150.155[45，50）100.10650.05合计1001.00xyAlO18、（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为，圆心在上.若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；11\n19、（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点（I）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积VC﹣ABD．20、（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.21、（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形。若分别为棱的中点，（1）求证：∥侧面；（2）试求与底面所成角的正弦值。ABCDVMN11\n22、（文科，请文科考生做）（12分）如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且，（1）求证：平面；（2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由；ECBDAFNM22、（理科，请理科考生做）（12分）如图，平面平面，且四边形是矩形，四边形是直角梯形，//，，（1）求证：//平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值，（3）求直线与平面所成角的余弦值。11\n11\n四川省德阳市第五中学2022级高二上期半期考试数学试题答案全国卷的格式是12+4+5选1，共计22题123456789101112ABBADCBCACDB12．分析：验证x=BP=，1，时，y=f（x）的值是什么，分析函数y=f（x）的变化情况，从而得出正确的判断．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，∴BD1=AB=3，当BP=时，如图所示；三棱锥B﹣EFG的底面是正三角形，设边长EF=a，则BE=，∴•a2•=••••；解得a=，y=f（x）=；当EF=AB=时，y=f（x）=3，如图所示；••••BP=••••，此时BP=1；当BP=时，截面为六边形EFGHIJ，且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=AC=，如图所示；此时y=f（x）=；∴时，函数y=f（x）的值域应为．13、314、相交11\n15、如图,要使两部分的面积之差最大,即使阴影部分的面积最小,也就是弦长AB最短.结合直线与圆的位置关系的性质知:当直线AB与直线OP垂直时,弦长AB最短,又,所求直线方程为:.16、解：∵△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，∴PM丄平面ABC，且M是AB边中点，∴MA=MB=MC，∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，∴PA=PB=PC，∴①正确，∵当PC⊥面ABC，∴△PCM面积=×PC×CM=×5×CM又因为CM作为垂线段最短=，△PCM面积的最小值为=6，∴②不正确．∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，∴三棱锥P﹣ABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，∴2R=5，R=，∴体积为故③不正确．∵△ABC的外接圆的圆心为O，PO⊥面ABC，∵P2=PO2+OC2，r==1，OC=，PO2=25﹣2=23，PO=，××3×4×=2，故④正确17、解答：（Ⅰ）因为随机抽取了100名学生作为样本，所以a=100﹣20﹣20﹣15﹣10﹣5=30；b==0.3；频率分布直方图如下：（Ⅱ）根据表格数据和直方图得到运动时间在小时的学生体育运动的平均时间为27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.75+2.625=36.5（小时）；11\n18、所求圆C的切线方程为：或者19、解答：（Ⅰ）证明：∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD．∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC；（Ⅱ）解：∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD，∵EF⊥CF，EF∩BD=F，∴CF⊥平面ABD，∵CB=CD=BD=1，∴CF=，∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴S△ABD=，∴VC﹣ABD==．20、Ⅰ）曲线与坐标轴的交点为（0,1）（3故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有+解得t=1,则圆的半径为.所以圆的方程为.（Ⅱ）设A(B(其坐标满足方程组消去y得到方程由已知可得判别式△=56-16a-4>0由韦达定理可得，①由可得又.所以2②ABCDVMNE图1由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1.21、（1）如图1，取侧棱之中点，连接，分别为棱的中点，且底面是正方形∥，且，则是平行四边形则∥，又侧面，平面∥侧面11\n（2）如图2，过点作垂足，连接ABCDVMNO图2H由（1）知底面，且平面，则平面底面，则底面，为与底面所成角由（2）知，而由为之中点，且，得又在中可得，而是之中点，则，在中，，即底面所成角的正弦值为22（文科）（1）取AC的中点H，因为AB＝BC，BH⊥AC．因为AF＝3FC，F为CH的中点．而E为BC的中点，EF∥BH．则EF⊥AC．由于△BCD是正三角形，DE⊥BC．因为AB⊥平面BCD，AB⊥DE．因为AB∩BC＝B，DE⊥平面ABC．DE⊥AC．而DE∩EF＝E，AC⊥平面DEF（2）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．所以当CF＝CN时，MN∥OF．所以CN＝（理科）(1)连结,取的中点,连结,由此知,即为直角三角形,故,又,故,所以,,.,为垂足,因平面平面,故,.与平面内的两条相交直线，都垂直.,,,,,,.所以,.(2)由,,,,知11\n,又,故是等腰三角形.取中点,连结,则,.连结,则∥,.所以,是二面角的平面角.连结,,,.所以,二面角的大小为.11
