四川省德阳市2022-2022学年高二数学半期考试试题考生注意：1将选择题的答案填涂在机读卡中，填空题和解答题只能书写在答题卷中，考试结束只交机读卡和答题卷。2本试卷总分150分，考试时间为120分钟，注意掌握时间。一、选择题：本大题共12个小题，每一小题5分，总分60分。1．下列命题中正确的是()A.棱柱的各个面都是四边形B.棱柱中只有两个面互相平行C.棱柱的侧棱长不都相等D.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面2．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.棱锥D.棱柱3．已知正方体外接球的体积是，则此正方体的棱长为()A.B.C.D.4．对于直线和平面，能推出的一个条件是()A.，∥，∥B.，，C.∥，，D.∥，，5．若是直线的倾斜角，且，则直线的斜率为()A.B.C.D.或6．在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的倍，则该二面角的大小为()A.B.C.D.7．在正方体中，直线与平面所成的角为()A.B.C.D.8．若向量=，，=，的夹角为钝角，则实数的取值范围是()A.，B.，C.，D.，，-8-9．在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.10．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.11．已知函数，，．若函数在，上有两个不同的零点，则实数的取值范围是()A.，B.，C.，D.，12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数，，且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是()A.B.C.D.二、填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分。把答案直接填在题中给出的横线上。13．已知集合，．若只含有一个元素，则．14．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为，则该圆锥的底面面积是．15．在直角坐标系中，与点，的距离为，且与点，的距离为的直线的方程是．16．已知空间四边形的四个顶点都在球的面上，分别是的中点，且，，若，，则球的表面积为．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．-8-17．(满分10分)设．(1)求的单调递增区间；(2)在锐角△中，角的对边分别为．若，．求△面积的最大值．18．(满分12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中分别是的中点，是上的一个动点．(1)当点落在什么位置时，∥平面，证明你的结论；(2)求三棱锥的体积．19．(满分12分)已知圆:及直线:．直线被圆截得的弦长为．(1)求的值；(2)求过点，并与圆相切的切线方程．20．(满分12分)已知函数．-8-(1)若函数的定义域和值域均为，，求实数的值；(2)若函数在区间，上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围．ABCDP21．(满分12分)如图，在四棱锥中，∥，且.(1)证明：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值．22．(满分12分)已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．(1)求圆的方程；(2)若直线过点，且与圆交于两点(在轴上方，在轴下方)，则在轴正半轴上是否存在定点，使得轴恒平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．德阳五中高2022级第三学期半期考试数学题答案一、选择题答案：题号123456789101112选项DBCCCAADBDBA二、填空题答题横线：-8-13．；14．；15．或；16．．三、解答题：17．解：(1)因，由，故单调递增区间是，；(2)由(1)知，因△为锐角三角形，∴．由余弦定理有，∵，∴，进而，当且仅当时取等号．故△面积的最大值为．18．解：(1)当点为的中点时，∥平面，证明如下：由三视图知该多面体是四棱锥，其底面边长为的正方形，侧棱底面，且．连接，∵分别是的中点，∴∥且，又是正方形的边的中点∴∥且，∴∥且，即四边形是平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面．(2)∵点到平面的距离为，∴点到平面的距离为，∵三棱锥的体积满足：19．解：(1)∵圆:的圆心为，，半径，而圆心到直线:的距离，依题，∴-8-或，∵，故所求；(2)∵切线过点，，设所求切线方程为，即，该直线与相切，∴，又∵，点，在圆外，切线应有两条，斜率不存在时是另一条切线．故所求切线方程为或．20．解：(1)∵二次函数的对称轴为，且开口向上，∴在定义域，上单调递减，即，时，，∴依题，，满足∴，即，满足，故所求；(2)∵在区间，上是减函数，∴，，即．∴在区间，上的子区间，递减，子区间，递增，由于，∴当，时，，即，时，．∴对任意的，时，有：，∴，依题有，解得，又∵，故所求，．-8-21．解：(1)证明：∵，∴，又由∥，∴；由，∴，∵平面且相交，∴平面，又∵平面，∴平面平面；(2)设，结合，知、、是全等的等腰直角三角形，∴；由(1)中平面知，∴四棱锥的底面是矩形，∴，∴是边长为的等边三角形，设为的中点，连接，则，且；又∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，且；由和知：平面是二面角的棱的垂面，即是二面角的平面角，又∵，在中，由余弦定理有：．所求二面角的余弦值为．22．解：(1)圆心在轴上，所以设，，又∵：与半径为的圆相切，∴或，∵圆心在直线的右上方，∴，故所求圆为；(2)假设在轴正半轴上存在符合题意的点，设，，①当直线的斜率不存在时，在轴正半轴上每一点都使得轴恒平分；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，∵两点的坐标，、，满足：，消去可得：由韦达定理可得：，，-8-若轴平分，则，所以，综上可知，存在点，，使得轴恒平分．-8-
