四川省2022年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B．C.D．3．石室中学为了解1000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生4．函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6/6\n6．已知的内角的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（）A．1B．C．2D．9.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．10.已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A．B．C．D．6/6\n12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A．B.C．D．二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成立的的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积的最大值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）6/6\n17.(本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的大小关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归方程中,6/6\n18．已知三次函数(为常数).（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若，讨论函数在的单调性.19.如图，四边形与均为菱形，，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆满足：此圆与直线相交于，两点（两点均不在坐标轴上），且，的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数，其中常数，自然常数.6/6\n（Ⅰ）当实数时，求在区间上的最值；（Ⅱ）设函数在区间上存在极值，求证：.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数）．（Ⅰ）写出的极坐标方程；（Ⅱ）过原点的射线与的异于极点的交点为，，为上的一点，且，求面积的最大值．6/6
