北京四中2022-2022学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）1.抛物线的准线方程为（）A.x=2B.x=-2C.x=4D.x=-42.若双曲线方程为，则其渐近线方程为（）A.B.C.D.3.已知点M的一个极坐标为，下列给出的四个极坐标仍能表示点M的是（）A.B.C.D.4.“”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A.B.C.D.6.设椭圆C：两个焦点分别为F1,F2，若C上存在点P满足::=4:3:2，则椭圆C的离心率等于（）A.B.C.D.7.已知点P是抛物线上的动点，且点P在y轴上的射影是M，点A，则-8-\n的最小值是（）A.B.4C.D.58.若有两个焦点，的圆锥曲线上存在点P，使成立，则称该圆锥曲线上存在“”点，现给出四个圆锥曲线：①②③④其中存在“”点的圆锥曲线有（）A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）9.抛物线的焦点到准线的距离是______________。10.命题“，”的否定为___________________。11.已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是__________________。12.椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，若，则=____________；∠的大小为___________________。13.过点（0，-4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是______________________。14.已知椭圆的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若与=（3，-1）共线，则此椭圆的离心率为_________________。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。）15.已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4。（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程。16.若抛物线C：的焦点在直线l：2x+y-2=0上。（1）求抛物线C的方程；-8-\n（2）求直线l被抛物线C所截的弦长。17.已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（2，）。（1）求椭圆C的标准方程；（2）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值。卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）1.命题，使得直线x-y+t=0与圆x2+y2=1相交；命题，双曲线=1的离心率为。则下面结论正确的是（）A.p是假命题B.是真命题C.p是假命题D.p是真命题2.设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A.B.C.D.3.过抛物线C：的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）4.经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线只有一个公共点，这样的直线l有______________条。5.曲线的极坐标方程=化为直角坐标方程为_____________。6.抛物线上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则等于_________。-8-\n三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）7.已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（1，），离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点。直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由。8.设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-24y-20-4-（1）求C1，C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M，N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。-8-\n试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）12345678ADDBBACB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9210，111221314三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.（1）；（2）16.（1）；（2）17.（1）解：由已知，所以。所以。所以，即。因为椭圆C过点（2，），得。所以椭圆C的方程为。（2）证明：由（1）知椭圆C的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0），-8-\n根据题意，可设直线MN的方程为，由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为。设M（x1，y1），N（x2，y2），由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0。则x1+x2=，x1x2=。所以。同理可得。所以。卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1D2B3D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）42536三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7.（1）解：由题意得，解得a=2，b=1。所以椭圆C的方程。（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点。-8-\n由得。设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=。又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）。由题意可知直线AM的方程为，故点P（0，）。直线BM的方程为，故点Q（0，）。若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0,0）,则等价于恒成立。又因为，，所以=+=0恒成立。又因为===y1y2=k（x1-1）k（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=k2（－）=，所以+=+=－3=0。解得x0=。故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（，0）。8.解：（1）设抛物线C2:，则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，）在统一抛物线上，易求C2:设C2:，把点（）（）代入得解得∴C2方程为-8-\n（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）设其方程为x－1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2)由。得x1x2+y1y2=0（）由消去，得△＝16m2+48>0∴y1+y2=,y1y2=①x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）=m2y1y2；＝1++=②将①②代入（）式，得+＝0解得∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点F的l方程为：。-8-
