内蒙古鄂尔多斯市东联现代中学2022届高三数学第2次次月考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集，集合，，则等于（）A．B．或C．D．2．若复数满足,为虚数单位,则的虚部为（）A.B.C.D.3．与函数相同的函数是（）A．B．C.D．4．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形5.已知函数，则（）A.在上递增B.在上递减C.在上递增D.在上递减6.已知，的导函数，则的图象是（）-12-7．下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C.若命题，则；D.命题“”是假命题.8．设，，，则（）A.B.C.D.9.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（）A.B.C.D.10．使函数f(x)=sin(2x+)+是奇函数，且在[0，上是减函数的的一个值是（）A．B．C．D．11．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）-12-13．向量a＝（2k＋3,3k＋2）与b＝（3，k）共线，则k＝___________．14．已知，则的值为．15.P是曲线上的任意一点，则点P到直线y=x-3的最小距离为．16.函数y=cos2x－8cosx的值域是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数图像，求的对称轴方程和对称中心坐标．18．（本小题满分12分）中，是边上的一点，平分，的面积是面积的两倍.（Ⅰ）求;（Ⅱ）若，，求和的长.19．（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80-90分数段的学员数为21人-12-（1）求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数；（2）现欲将90-95分数段内的名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．20．(本小题满分12分)等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.21．（本题满分12分）已知曲线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．22．（本题满分12分）设函数（）．（Ⅰ）若在处取得极值，求的值,并求函数在(1,f(1))处的切线方程.（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围.-12-一，BACADDADDBAC二，|十¼π①②④⑤½1/√6三．解答题（共2小题） 17．已知函数f（x）=6x2+x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的零点；（Ⅱ）若α为锐角，且sinα是f（x）的零点．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）令f（x）=6x2+x﹣1=0，即可解得x的值．（Ⅱ）（ⅰ）由α为锐角，可求sinα的值，利用诱导公式即可计算得解．（ⅱ）由α为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）令f（x）=6x2+x﹣1=0得零点或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由α为锐角，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅰ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）-12-=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）由α为锐角，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）可得：=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB（1）求角C的大小；（2）求cosA+cosB的取值范围．【分析】（1）通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．（2）通过C的值，得到A+B的值，利用两角和的余弦函数求出cosA+cosB=sin（A+）．根据A+的范围，求出sin（A+）的范围，得到结果．【解答】解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB得，a2﹣c2=（a﹣b）b，即a2+b2﹣c2=ab．由余弦定理得cosC==．又C∈（0，π）．所以C=．（2）由（1）知A+B=，则．cosA+cosB=cosA+cos=cosA+coscosA+sinsinA-12-=cosA+sinA=sin（A+）．由可知，，所以sin（A+）≤1．所以cosA+cosB的取值范围（]．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．19．已知函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点x=﹣1处的切线方程；（Ⅱ）求y=f（x）在[﹣3，2]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点，以及极值，计算区间[﹣3，2]的端点处的函数值，比较可得所求最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5的导数为f′（x）=3x2+4x﹣4，可得y=f（x）在点x=﹣1处的切线斜率为k=﹣5，切点为（﹣1，10），则曲线y=f（x）在点x=﹣1处的切线方程为y﹣10=﹣5（x+1），即5x+y﹣5=0；（Ⅱ）由f′（x）=3x2+4x﹣4，-12-可得x=﹣2或x=时，f′（x）=0，则f（﹣2）=﹣8+8+8+5=13，f（）=+﹣+5=，又f（﹣3）=﹣27+18+12+5=8，f（2）=8+8﹣8+5=13，综上可得，f（x）的最小值为，最大值为13．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．（2）直接利用单调性求出结果．【解答】解：（1）∵函数=sin（2x﹣）﹣2sin（x﹣）cos（x﹣）=sin（2x﹣）﹣sin（2x﹣）=sin（2x﹣）+cos2x=sin2x•﹣cos2x•+cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．-12-∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．（2）∵，∴．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1．又∵，当时，f（x）取最小值．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，，x∈R），在同一个周期内，当时，函数取最大值3，当时，函数取最小值﹣1，（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到g（x）的图象，讨论g（x）在上的单调性．【分析】（1）根据最值计算A，B，根据周期计算ω，根据f（）=3计算φ；-12-（2）根据函数图象变换得出g（x）的解析式，求出g（x）的单调区间即可．【解答】解：（1）由题意得，∴．f（x）的周期T=2（）=．∴=，即ω=3．∵f（）=2sin（+φ）+1=3，∴+φ=+2kπ，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=﹣．∴f（x）=2sin（3x﹣）+1．（2）g（x）=2sin（2x+）+1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣π，]，∴g（x）在[﹣π，]上单调递增，在[﹣，﹣]，[，]上单调递减．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，函数图象变换，属于中档题． 22．已知函数f（x）=aex﹣，在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣1）x+1．（1）求a，b；（2）证明：f（x）＞1．【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程，可得f（1）=ae=e，f′（1）=ae﹣b=e﹣1，由此可求a，b的值；-12-（2）把证f（x）＞1，转化为证＞1，即证xex﹣lnx＞x（x＞0），也就是证xex＞x+lnx，先利用导数证明xex＞x2+x，再证明x2+x＞x+lnx，则结论得证．【解答】（1）解：函数f（x）=aex﹣，求导函数可得f′（x）=aex﹣（x＞0）．∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣1）x+1，∴f（1）=ae=e，f′（1）=ae﹣b=e﹣1，∴a=1，b=1；（2）证明：函数f（x）=，要证f（x）＞1，需证＞1，即证xex﹣lnx＞x（x＞0），也就是证xex＞x+lnx，令g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，则g（x）＞g（0）=0，∴ex＞x+1，则xex＞x2+x，令h（x）=x2+x﹣x﹣lnx=x2﹣lnx，则h′（x）=，当x∈（0，）时，h′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，则h（x）的最小值为h（）=．∴h（x）=x2+x﹣x﹣lnx＞0，-12-即x2+x＞x+lnx，∴xex＞x+lnx，故f（x）＞1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调区间，求出函数的最值，属于中档题．-12-
