2022-2022学年度第一学期通辽实验中学期中试题高二理科数学第Ⅰ卷（选择题60分）一、填空题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=8x的焦点坐标（ ）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）2．已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（ ）A．∀x＞0，总有2x≤1B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3.不等式的解集是（）A.B.C.D.4.点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（ ）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）5．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（ ）A．2B．1C．D．6．若椭圆+=1的离心率为，则m=（ ）A．B．4C．或4D．7．已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（ ）A．10B．4C．D．-9-\n8.已知命题在命题①中，真命题是A.①③B.①④C.②③D.②④9．若关于的不等式（）的解集为，且，则（）A.B.C.D.10.双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=3|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,2)B.C.(3,+)D.11．正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．412.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()-9-\nA.2B.3C.6D.8第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．14．设实数满足，则的最小值为______15．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知，且，求函数的值域．18．（本小题满分12分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．19（本小题满分12分）已知直线L:y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点（异于原点），-9-\n（1）若直线L过抛物线焦点，求线段|AB|的长度；（2）若OA⊥OB，求m的值；20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．21.（本小题满分12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求的方程.22．（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；-9-\n（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．-9-\n一.选择题BDCAACBCABCC二．填空题(13)(14)-3(15)x-2y-8=0(16)三.解答题17.解：由不等式解得.又，所以，从而函数，且易知．当时，，当且仅当，即时，等号成立.当时，，所以，当且仅当，即时，等号成立.综上，函数的值域为18．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q为真，则有1＜＜4，解得：0＜m＜15，∵￢q与p∧q均为假命题，∴q为真命题，p为假命题．则有解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．19.(1)m=－2,|AB|=16(2)m=－820．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，-9-\n∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为． 21.解：（1）设，由题意，∴，又∵离心率，∴，∴，过椭圆的方程为；.…………………………………3分（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为，联立直线与椭圆方程：，化简得：，∵，∴，设，则，………………6分∴，-9-\n∴坐标原点到直线的距离为，，……………………8分令，则，∵，当且仅当，时，等号成立，∴，故当，即，时的面积最大，………………10分从而直线的方程为..……………22．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）．设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（2），∴，，…，-9-\n∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…-9-
