通辽实验中学2022--2022学年度第一学期高二（理科）数学月考试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式的解集是( )A．{x|或x＞3}B．{x|或}C．{x|1x＜3}D．{x|1≤x≤3}2.若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是 （）A．1B．2C．3D．43已知双曲线：（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.4.x2－2x－3＜0的一个充分不必要条件是（ ）A．－1＜x＜3B．－＜x＜0C．－3＜x＜1D．－1＜x＜65已知双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的一半，则实数m的值是( )A．4B．－C.D．－46.若命题“”为假，且“”为真，则（）A或为真B假C真D不能判断的真假7.椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.8.原点和点(3，1)在直线x＋2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )A．a＜0或a＞5B．a＝5或a＝0C．0＜a＜5D．0≤a≤5-7-\n9.若不等式x2＋ax－5>0在区间[1,2]上有解，则a的取值范围是( )A.B.C．D.10.已知两定点A(2,0)，B(－2，0)，动点P(x，y)满足·＝，则点P的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D.双曲线11.若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2+3m有解，则实数m的取值范围是( )A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，-4)∪(1，＋∞)12.已知在双曲线中，参数都通过随机程序在区间上随机选取，其中，则双曲线的离心率在之内的概率为（）A．B．C．D．第II卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件则的最大值为________.14.已知椭圆的上动点,左、右焦点分别为、，当P点运动时，∠的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．15.在平面直角坐标系中，方程所代表的曲线形状是________.16.定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2,则不等式f(3－2x)>4的解集为_____.三、解答题:本大题共６小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率，椭圆上一点到两焦点距离的和是8；-7-\n（2）椭圆过定点A、B18.（本题满分12分）设p：实数x满足x2－2（a+1）x＋2a+a2＜0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.（本小题满分12分）已知x＞0，y＞0，且x＋4y－2xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．20.（本题满分12分）已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为16.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为1的直线交椭圆与PQ两点,求|PQ|的长．21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2+x+4a2－6a<0.22.（本小题满分12分）已知椭圆E焦点在X轴上且离心率，其焦点三角形最大面积为1.(1)求椭圆E标准方程；(2)过右焦点作斜率为直线l与椭圆E交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过原点.-7-\n高二理科月考数学参考答案1.不等式的解集是( )AA．{x|或x＞3}B．{x|或}C．{x|1x＜3}D．{x|1≤x≤3}2.若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是 （）CA．1B．2C．3D．43已知双曲线：（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A4.x2－2x－3＜0的一个充分不必要条件是（ ）BA．－1＜x＜3B．－＜x＜0C．－3＜x＜1D．－1＜x＜65已知双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的一半，则实数m的值是( )A．4B．－C.D．－4解析：选D 由双曲线的方程知a＝1，b＝，又b＝a，所以＝，解得m＝－4，故选D.6.若命题“”为假，且“”为真，则（）DA或为真B假C真D不能判断的真假7.椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )BA.B.C.D.8.原点和点(3，1)在直线x＋2y－a＝0两侧，则a的取值范围是( )CA．a＜0或a＞5B．a＝5或a＝0C．0＜a＜5D．0≤a≤59.若不等式x2＋ax－5>0在区间[1,2]上有解，则a的取值范围是( )B-7-\nA.B.C．D.解析：选B 由Δ＝a2＋20>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,2]上有解的充要条件是f(2)＞0，解得a＞，故a的取值范围为.10.已知两定点A(2,0)，B(－2，0)，动点P(x，y)满足·＝，则点P的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D.双曲线C【解析】由题知＝(2－x,－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝(2－x)(－2－x)＋(－y)(－y)＝x2＋y2－4由已知x2＋y2－4＝，即，所以点P的轨迹为椭圆．11.若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2+3m有解，则实数m的取值范围是( )A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，-4)∪(1，＋∞)解：选D ∵不等式x＋<m2－3m有解，∴x＋min＜m2－3m，∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴min＝4，∴m2+3m＞4，即(m-1)(m+4)＞0，解得m＜－4或m＞1，故实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)12.已知双曲线中，参数都通过随机程序在区间上随机选取，其中，则双曲线的离心率在之内的概率为（）DA．B．C．D．13.若x，y满足约束条件则的最大值为________.814.已知椭圆的上动点P,左、右焦点分别为、，当P点运动时，∠的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．-7-\n15.在平面直角坐标系中，方程所代表的曲线是________.菱形16.定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2,则不等式f(3－2x)>4的解集为_____.17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率，椭圆上一点P到两焦点距离的和是8；（2）过两个定点的坐标是、【解（1）或（2）；18.设p：实数x满足x2－2（a+1）x＋2a+a2＜0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解析 (1)由x2－2（a+1）x＋a+a2＜0得(x－(a+2))(x－a)＜0，当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)p是q的必要不充分条件，A＝(a,a+2),B＝(2,3]，故有解得1＜a≤2；所以实数a的取值范围是(1,2]．19.已知x＞0，y＞0，且x＋4y－2xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由x＋4y－2xy＝0，得又x＞0，y＞0，则2＝≥2＝，得xy≥4，当且仅当x＝4，y＝1时，等号成立．所以xy的最小值为4.(2)由(1)知则x＋y＝（）·(x＋y)＝≥当且仅当x＝4且y＝1时等号成立，∴x＋y的最小值为.-7-\n20．已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为16.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为1的直线交椭圆与PQ两点,|PQ|的长．答案：（1）（2）21.已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2+x+4a2－6a<0.解 (1)∵函数f(x)＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．当a≠0时，则有解得0<a≤1，综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)∵f(x)＝＝，又∵0≤a≤1，∴当x＝－1时，f(x)min＝，由题意得＝，∴a＝，∴不等式x2+x+4a2－6a<0可化为x2+x－2<0.解得，∴不等式的解集为．22.已知椭圆E焦点在X轴上且离心率，其焦点三角形最大面积为1.(1)求椭圆E标准方程；(2)过右焦点作斜率为直线l与椭圆E交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过原点.解：(1)．(2)由题可得直线l方程为联立得方程组消去y，整理得5x2－8x＋2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以y1y2＝2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.所以x1x2＋y1y2＝0因为·＝0，所以OM⊥ON，所以以MN为直径的圆过原点.-7-
