固阳一中2022-2022学年度第一学期期中考试高三数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）A.B.C.1，2，D.0，1，2，2.设复数z满足z+i=3-i，则=（ ）A.B.C.D.3.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，4.函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（ ）A.B.C.D.5.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（ ）A.B.C.6D.86.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.7.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了8.已知双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A.2B.C.D.110\n1.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于A.2B.3C.4D.52.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A.B.C.D.3.直线被圆截得的弦长为，则的最小值是（ ）A. 9B.4C.D.4.设f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A.B.C.D.10\n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.过点（1，1）且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为______．2.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是______．3.设x，y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为______．4.等边三角形ABC的三个顶点在一个O为球心的球面上，G为三角形ABC的中心，且OG=．且△ABC的外接圆的面积为，则球的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）5.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc．（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．6.已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．7.已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值．8.在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF10\n；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．21．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.22.已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．10\n期中考试答案和解析1.【答案】C解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．2.【答案】A解：∵复数z满足z+i=3-i，∴z=3-2i，∴=3+2i，3.【答案】B解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1，4.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．5.【答案】D解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴12-2（m-2）=0，解得：m=8，6.【答案】D解：由题意可知，几何体是半圆柱，底面半圆的半径为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积为：V==π．7.【答案】C解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．8.【答案】D解：由题意，e===2，解得，a=1．9.【答案】C解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，10\n当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，10.【答案】A解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．11.【答案】A解：圆x2+y2+2x-4y+1=0，即圆（x+1）2+（y-2）2=4，它表示以（-1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有-2a-2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得，当且仅当=时取等号，∴+的最小值是9．故选：A．12.【答案】B解：f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足，可得，令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）=＞0，∴函数g（x）在R上单调递增．∴g（2）=4f（2）＜g（e）=e2f（e）＜g（3）=9f（3），∴．故选B．13.【答案】2x-y-1=0解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x-y+c=0，由直线过点（1，1）可得2×1-1+c=0，解得c=-1，∴所求直线方程为2x-y-1=0，故答案为：2x-y-1=0．10\n14.【答案】9解：抛物线的准线为x=-1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x=-1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．故答案为：9．15.【答案】-5解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（-1，1）．∴z=3x-2y的最小值为-3×1-2×1=-5．故答案为：-5．16.【答案】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵△ABC的外接圆的面积为，∴r=∵O为球心，G为三角形ABC的中心，且OG=，∴球的半径为1，∴球的体积为．故答案为．17.【答案】解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又∵A∈（0，π），∴A=,（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，∵a=3，A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，∴解得：b=，c=2，∴S△ABC=bcsinA==.10\n18.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{bn}的公比为q，则，从而q=2，故{bn}的前n项和．19.【答案】解：（1）=1+2sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；令2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）若把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数=的图象，∵x∈[-，0]，∴2x-∈[-，-]，∴∈[-1，]，∴∈[-2，1]．故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．20.【答案】证明：（Ⅰ）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，∴OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，10\n∴DE∥平面ACF（II）由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE解：（III）取BC中G，连结FG，在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，∵FG是△BCE的中位线，∴FG⊥底面ABCD，∵AB=，∴FG=，∴三棱锥F-ABC的体积V==××4×=．22.【答案】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•-4，则f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，即函数的切线斜率k=f′（1）=-2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），∴f′（x）=1++lnx-a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2-a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx-a（x-1）＞0，即为a＜，由y=的导数为y′=10\n，由y=x--2lnx的导数为y′=1+-=＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y=在x＞1递增，则==2，可得＞2恒成立，即有a≤2．10
