云南省民族大学附属中学2022届高三数学上学期期中试题理注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁UM＝A．{1，4}B．{1，5}C．{2，3}D．{3，4}2．复数的共轭复数是( )．A．－iB．iC．－iD．i3．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是A．－2B．－C．±D．4．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A．B．4C．3D．55．阅读如右图所示的程序框图，输出的S值为A．0B．1＋C．1＋D．－16．若＝，则tan2α＝A．－B．C．－D．7．若，则下列结论正确的是A．B．10\nC．D．8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A．14＋2B．14＋2C．18D．209．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为A．B．C．D．10．点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是A．B．C.D．11．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为A．3B．－3C．－D．12．已知函数，，如果对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝．14．P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|的最小值是．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）10\n17．(本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0．(1)求的值；(2)若cosC＝，求sinB的值．18．（本题满分12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度．(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆需矫正速度的概率；(2)从样本中任取2辆车，求这2辆车均需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如图，四边形为菱形，，平面，为中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值．10\n20．（本题满分12分）已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知函数f(x)＝sinx－xcosx(x≥0)．(1)求函数f(x)在区间[0，2π]上的最大值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)<ax3恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈．(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)＝|3x＋2|．(1)解不等式|x－1|＜f(x)；10\n(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．10\n2022级高三(上)期中考试数学(答案)(理)一．题号123456789101112答案ACBABBADDDDC二．题号13141516答案－11100三．17．解 (1)因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，所以2＋－6＝0，得＝2或＝－3(舍去)．由正弦定理得＝＝2.(2)由余弦定理得cosC＝＝.①将＝2，即a＝2b代入①，得5b2－c2＝3b2，得c＝b.由余弦定理cosB＝，得cosB＝＝，则sinB＝＝.18．解：(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆需矫正速度”．因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P(A)＝P(X<μ－3σ)＋P(X>μ＋2σ)＝P(X<78.4)＋P(X>89.4)＝＋＝.(2)记事件B为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”．由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的个数为5辆车，10\n故所求概率为P(B)＝＝.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B，∴P(ξ＝0)＝C02＝，P(ξ＝1)＝C11＝，P(ξ＝2)＝C20＝，因此ξ的分布列为ξ012P∴数学期望E(ξ)＝2×＝.图319．(1)证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO，∵四边形ABCD是菱形，，∵E为PC中点，，平面ABCD，平面ABCD，平面BED，∴平面平面ABCD．………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：∵四边形ABCD是菱形，，平面ABCD，，，如图4，建立空间直角坐标系，…………………………………………（8分）∵y轴⊥平面BED，图4∴平面BED的法向量为．设F为AB中点，连接CF，菱形ABCD的边长为，则，平面PAB，10\n∴平面PAB的法向量为，，∴平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值为．……………（12分）20．解(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2.∴椭圆E：＋＝1.将P(1，)代入可得b2＝3，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.|AC|＝|x1－x2|＝＝.∵直线BD的斜率为－，∴|BD|＝＝.∴＋＝＋＝.综上，2λ＝＋＝，∴λ＝.10\n故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．21．解：(1)∵f′(x)＝xsinx，∴0<x<π时，f′(x)>0，π<x<2π时f′(x)<0∴f(x)在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数∴f(x)max＝f(π)＝π(2)f(x)<ax3⇒sinx－xcosx－ax3<0.令g(x)＝sinx－xcosx－ax3，则g′(x)＝xsinx－3ax2＝x(sinx－3ax)，又令h(x)＝sinx－3ax，则h′(x)＝cosx－3a.①当3a≤－1，即a≤－时，h′(x)≥0恒成立，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)>g(0)＝0(不合题意)．②当3a≥1，即a≥时，h′(x)≤0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴h(x)<h(0)＝0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)＝0(符合题意)．③当－1<3a<1，即－<a<时，由h′(0)＝1－3a>0，h′(π)＝－1－3a<0，∴在(0，π)上，∃x0使h′(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h′(x)>0⇒g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上单调递增，∴存在g(x)>g(0)＝0(不符合题意)，综上，a的取值范围为.22．解(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).4分(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，10\n所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.8分故D的直角坐标为，即.10分23．解 (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，故原不等式的解集为.4分(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，当且仅当m＝n＝时，等号成立．令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝8分则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.解得a≤.又a＞0，因此0＜a≤.10分10
