云南省民族大学附属中学2022届高三数学上学期期中试题文注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝A．{1，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝A．－2iB．2iC．－2D．23．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于A．B．C．－D．或－4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x5．阅读如右图所示的程序框图，输出的S值为A．0B．1＋C．1＋D．－16．若＝，则tan2α＝A．－B．C．－D．7．若，则下列结论正确的是A．B．C．D．8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A．14＋2B．14＋210\nC．18D．209．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为A．B．C．D．10．点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是A．B．C.D．11．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为A．3B．－3C．－D．12．已知函数（），，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．不等式组表示的平面区域的面积是________．14．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为．15．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为．16．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0．(1)求的值；10\n(2)若cosC＝，求sinB的值．18．（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图1所示的圆盘一次，其中O为圆心，目标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．图1(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券面额大于0元的概率；(2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．19．（本题满分12分）如图，四边形是边长为的菱形，，平面，为中点．(1)求证：平面平面；(2)若，求三棱锥的体积．20．（本题满分12分）10\n已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈．(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)＝|3x＋2|．(1)解不等式|x－1|＜f(x)；(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．10\n10\n2022级高三(上)期中考试数学(答案)(文)一．题号123456789101112答案AACBBBADDDDC二．题号13141516答案62100三．17．解 (1)因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，所以2＋－6＝0，得＝2或＝－3(舍去)．由正弦定理得＝＝2.(2)由余弦定理得cosC＝＝.①将＝2，即a＝2b代入①，得5b2－c2＝3b2，得c＝b.由余弦定理cosB＝，得cosB＝＝，则sinB＝＝.18．解 (1)设“甲获得优惠券”为事件A．因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是.2分顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，所以甲获得优惠券面额大于0元的概率为P(A)＝＋＝.5分(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B．因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x元，第二次获得优惠券的金额为y元，则基本事件空间为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为.8分10\n而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x＋y≥20，所以事件B中包含的基本事件有6个.10分所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为P(B)＝＝.12分图319．(1)证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO，∵四边形ABCD是菱形，，∵E为PC中点，，平面ABCD，平面ABCD，平面BED，∴平面平面ABCD．…………………………………（6分）(2)解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，．平面ABCD，，．，，，．………………………………………………………………………………（12分）20．解(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2.∴椭圆E：＋＝1.将P(1，)代入可得b2＝3，10\n∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.|AC|＝|x1－x2|＝＝.∵直线BD的斜率为－，∴|BD|＝＝.∴＋＝＋＝.综上，2λ＝＋＝，∴λ＝.故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．21．解(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上为增函数；当a＞0时，由f′(x)＝0得x＝lna，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数，当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x，∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，即m≤在(2，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，10\nh′(x)＝＝.令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1＞0在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)＞L(2)＝e2－4＞0，∴h′(x)＞0，即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，∴h(x)＞h(2)＝，∴m≤.所以实数m的取值范围是.22．解(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).4分(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.8分故D的直角坐标为，即.10分23．解 (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，故原不等式的解集为.4分(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，当且仅当m＝n＝时，等号成立．令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝8分则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.10\n解得a≤.又a＞0，因此0＜a≤.10分10
