云南省曲靖市2022届高三数学上学期第四次月考试题理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且，则（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.下列命题为假命题的是（）A．，使得B．“”是“”的必要不充分条件C．若向量，，则D．函数，的值域为4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C.②③D．③④5.在等比数列中，是函数的极值点，则（）A．-4B．-3C.3D．46.已知函数（且）图象恒过的定点在角的终边上，则（）A．B．C.D．7.在中，若，且，则（）19\nA．B．C.D．8.一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（）A．最长的棱长为B．该四棱锥的体积为C.侧面四个三角形都是直角三角形D．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形9.已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C.D．10.已知定义在非零实数集上的函数满足：，且，，，则（）A．B．C.D．11.设，，若，则的最大值为（）A．B．C.D．12.已知函数，，则不等式的解集为（）A．B．C.D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）19\n13.若函数，且，则的值为．14.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其外接球的表面积为．15.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第13行从左向右的第7个数为．16.点的坐标满足约束条件，若，，且（为坐标原点），则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列满足：（），，该数列的前三项分别加上0，0，2后成等比数列，且.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.在中，角的对边分别为，面积为，已知.（1）求证：成等差数列；（2）若，，求.19.如图，正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直，，且，.19\n（1）求证：四点共面；（2）求二面角的余弦值.20.定义行列式运算：，若函数（，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.（1）求函数的单调增区间；（2）数列的前项和，且，求证：数列的前项和21.已知函数，，其中，.（1）当时，求在点处切线的方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）记，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数）（1）在极坐标系下，曲线与射线和射线分别交于两点，求的面积；19\n（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.19\n试卷答案一、选择题1-5:DADCB6-10:CCBA11、12：DB【解析】10．∵，∴，则在上是减函数，∵，∴，故选A．11．∵，，∴，∴，∴，故选D．12．∵，∴当时，，当时，则在上是减函数，在上是增函数，∴，故选B．二、填空题13.214.15.8516.5【解析】16．∵，由，∴将，，代入得画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得的最大值为，∴的最大值为．三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设为等差数列的公差，由题意，19\n由，，，分别加上后成等比数列，∴，∵，∴，∴，又，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴．18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题意：，∴，由正弦定理得，即，∴，即，∵，∴，即，∴成等差数列．（Ⅱ）解：由余弦定理得，∴，又由（Ⅰ）得，∴，19\n则．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：方法1：如图，取的中点，连接，∵在正方形中，，，在直角梯形中，，，∴，，即四边形是平行四边形，∴，∵在直角梯形中，，即四边形是平行四边形，∴，由上得，即四边形是平行四边形，∴四点共面．方法2：由正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直，易证：两两垂直，建立如图所示的坐标系，则，∵，∴，即四边形是平行四边形，故四点共面．（Ⅱ）解：设平面的法向量为，19\n∵，则令，则，设平面的法向量为，且，则令，则，∴设二面角的平面角的大小为，则．20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意：，∵，∴，∴的图象向右平移个单位后得，此函数为奇函数，则，∵，∴，∴，由可得，∴的单调增区间为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，∴，①当时，；②当时，，而，∴，则，19\n∴．21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：当时，，∴，此时切点为，∴的方程为．（Ⅱ）解：∵，函数在区间上单调递增，∴在区间上恒成立，∴在上恒成立，则，令，则，当时，，∴，∴．（Ⅲ）证明：∵，∴，则，∴，令，则，令，则，显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，∴，则．22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，19\n分别代入和，得，∵，∴的面积．（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，即，∴．23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．19\n曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DADCBCCBAADB【解析】10．∵，∴，则在上是减函数，∵，∴，故选A．11．∵，，∴，∴，∴，故选D．12．∵，∴当时，，当时，则在上是减函数，在上是增函数，∴，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案【解析】16．∵，由，∴将，，代入得画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意19\n义求得的最大值为，∴的最大值为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设为等差数列的公差，由题意，………………………………（1分）由，，，分别加上后成等比数列，∴，∵，∴，…………………………………………（3分）∴，………………………………………………………………（4分）又，∴，即．……………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴……………………………………（9分）．…………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题意：，∴，……………………………………………………………（1分）由正弦定理得，即，∴，……………………………………（3分）19\n即，∵，∴，即，∴成等差数列．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由余弦定理得，∴，……………………………………………………………………（8分）又由（Ⅰ）得，∴，………………………………………………………………………………（10分）则．…………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：方法1：如图，取的中点，连接，∵在正方形中，，，在直角梯形中，，，∴，，即四边形是平行四边形，………………………………………………（2分）∴，∵在直角梯形中，，即四边形是平行四边形，………………………………………………………………………………………（4分）∴，由上得，即四边形是平行四边形，19\n∴四点共面．………………………………………………………………（6分）方法2：由正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直，易证：两两垂直，建立如图所示的坐标系，则，∵，…………………………………………………（3分）∴，即四边形是平行四边形，故四点共面．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：设平面的法向量为，∵，则令，则，………………………………（8分）设平面的法向量为，且，则令，则，……………………………（10分）∴设二面角的平面角的大小为，则．………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意：，19\n∵，∴，……………………………………（2分）∴的图象向右平移个单位后得，此函数为奇函数，则，∵，∴，………………（4分）∴，由可得，∴的单调增区间为．…………………………………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，∴，………………………………………………………………………………（8分）①当时，；②当时，，而，∴，…………………………………………………………………………（10分）则，∴．……………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：当时，，∴，此时切点为，∴的方程为．…………………………………………（3分）19\n（Ⅱ）解：∵，函数在区间上单调递增，∴在区间上恒成立，∴在上恒成立，则，令，则，当时，，∴，∴．…………………………………………………………………………（7分）（Ⅲ）证明：∵，∴，则，∴，令，则，令，则，显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，∴，则．……………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，………………………………………（2分）分别代入和，得，∵，19\n∴的面积．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，…………………（7分）即，∴．…………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法1：∵………………………（2分）∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．…………………………………………………………………………………（5分）方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．…………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．19\n……………………………………………………………………………………（10分）19
