云南省曲靖市2022届高三数学上学期第四次月考试题文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.设，则（）A．B．C．D．3.已知命题方程在上有解，命题，有恒成立，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．4.设向量，，则（）A．B．C.D．5.设，，，则的大小关系是（）A．B．C.D．6.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．7.设实数满足，则的最小值为（）A．4B．C.D．08.已知函数（，）的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）17\nA．B．C.D．9.若正实数满足，则的最小值为（）A．2B．3C.4D．510.一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（）A．最长的棱长为B．该四棱锥的体积为C.侧面四个三角形都是直角三角形D．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形11.若，那么的解集为（）A．B．C.D．12.在锐角中，，，，若动点满足，则点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设等比数列满足，，则．14.在矩形中，，，为矩形内部一点，且，则的取值范围是．17\n15.已知偶函数（）满足，且当时，，则的图象与的图象的交点个数为．16.正四面体的棱长为，其外接的体积与内切球的体积之比是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①；②；③；④；⑤（1）从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）式的计算结果把该同学的发现推广为一个三角恒等式；（3）证明这个结论.18.已知数列满足，（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）证明.19.在锐角三角形中，分别是角的对边，，，且（1）求角的大小；（2）求函数的值域.20.如图，在边长为4的菱形中，，现沿对角线把折起，折起后使的余弦值为17\n（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，求三棱锥的体积21.已知函数在点处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）求证：对任意，时，恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数）（1）在极坐标系下，曲线与射线和射线分别交于两点，求的面积；（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.17\n试卷答案一、选择题1-5:CBBBD6-10:ABDCB11、12：AC17\n【解析】1．，，则，故选C．2．，则，故选B．3．由题意知假真，所以为真，故选B．4．向量，，则，故选B．5．，，，所以，所以，故选D．6．因为，则当时，取得最小值为5，则，所以实数的取值范围是，故选A．7．画出可行域如图1，则目标函数的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，所以的最小值为，故选B．8．已知函数的最小正周期为，所以，所以，那么图象向右平移个单位后得到函数的图象，则，因为，所以，故选D．9．正实数满足，则，则，，所以的最小值为4，故选C．17\n10．还原四棱锥，如图，由主视图可知，底面计算可知B正确，故选B．11．由，则函数是奇函数且在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得，故选A．12．在锐角的边上取一点，使，若动点满足，则，所以点的轨迹是直线，所以与直线所围成的封闭区域是三角形，由已知条件可知，故选C．二、填空题13.814.15.416.27【解析】13．等比数列满足，，解得，则．14．，画图分析可知的范围是．15．因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，又，所以的图象关于对称，且当时，，画出与的图象可知交点有4个．16．正四面体的棱长为，其外接球的半径为，其内切球的半径为所以17\n．三、解答题17．（Ⅰ）解：选择②，．（Ⅱ）解：．（Ⅲ）证明：．18．证明：（Ⅰ）由得，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，且，所以．（Ⅱ），所以．19．解：（Ⅰ）由，则，即，由正弦定理得，，，17\n在锐角三角形中，，∴故．（Ⅱ）在锐角三角形中，，故，所以因为，所以，所以，所以函数的值域为．20．（Ⅰ）证明：在菱形中，记的交点为，，∴，，翻折后变成三棱锥，在中，，所以在中，，所以，又，，∴⊥平面，又⊂平面，∴平面⊥平面．（Ⅱ）解：因为是的中点，所以到平面的距离相等，．21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为，所以，根据题意，，所以，所以．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，定义域为，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，17\n所以函数在处取得极值，又函数在区间上不单调，所以，所以．（Ⅲ）证明：当时，，所以时，原不等式等价于恒成立，令，则，令，则在上恒成立，所以在上是增函数，，所以，所以在上是增函数，所以，即原不等式恒成立．22．【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，∴的面积．（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，即，∴．23．【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，17\n∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．曲靖一中高考复习质量监测卷四文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBBBDABDCBAC【解析】1．，，则，故选C．2．，则，故选B．3．由题意知假真，所以为真，故选B．4．向量，，则，故选B．5．，，，所以，所以，故选D．6．因为，则当时，取得最小值为5，则，所以实数的取值范围是，故选A．17\n图17．画出可行域如图1，则目标函数的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，所以的最小值为，故选B．8．已知函数的最小正周期为，所以，所以，那么图象向右平移个单位后得到函数的图象，则，因为，所以，故选D．9．正实数满足，则，则，，所以的最小值为4，故选C．10．还原四棱锥，如图2，由主视图可知，底面图2计算可知B正确，故选B．11．由，则函数是奇函数且在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得，故选A．12．在锐角的边上取一点，使，若动点满足，则，所以点的轨迹是直线，所以与直线所围成的封闭区域是三角形，由已知条件可知，故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案27【解析】13．等比数列满足，，解得，则．14．，画图分析可知的范围是．17\n15．因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，又，所以的图象关于对称，且当时，，画出与的图象可知交点有4个．16．正四面体的棱长为，其外接球的半径为，其内切球的半径为所以．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：选择②，．…………………………………（3分）（Ⅱ）解：．……………………………（6分）（Ⅲ）证明：．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由得，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，且，所以．……………………………………………………………………17\n（6分）（Ⅱ），所以．…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，则，即，由正弦定理得，，，在锐角三角形中，，∴故．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）在锐角三角形中，，故，所以因为，所以，所以，所以函数的值域为．………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在菱形中，记的交点为，，∴，17\n，翻折后变成三棱锥，在中，，所以在中，，所以，又，，∴⊥平面，又⊂平面，∴平面⊥平面．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为是的中点，所以到平面的距离相等，．…………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为，所以，根据题意，，所以，所以．……………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，定义域为，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以函数在处取得极值，又函数在区间上不单调，所以，所以．…………………………………………………（8分）（Ⅲ）证明：当时，，所以时，原不等式等价于恒成立，令，则，令，则在上恒成立，17\n所以在上是增函数，，所以，所以在上是增函数，所以，即原不等式恒成立．………………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，∴的面积．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，即，∴．…………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．…………………………………………………………………………………（5分）方法2：∵17\n，当且仅当时取等号，∴．…………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．………………………………………………………………………………………（10分）17
