拉萨中学高三年级（2022届）第四次月考理科数学试卷命题：（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设集合，集合，则等于（）A．B．C．D．3.下列命题中正确的是（）A．若为真命题，则为真命题B．若，则恒成立C．命题“，”的否定是“，”D．命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”4.已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件5.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）A．B．C．D．-16-6.在中，，，分别是内角，，的对边，若，，的面积为，则（）A．B．C．D．7.已知，则（）A.B.C.D.8.等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A．7B．8C．15D．169.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（）A．B．C．D．10.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为（）A．50B．70C．90D．12011.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A.B.C.D.12．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）-16-13.已知，，，若与平行，则__________．14.设，满足约束条件，则的取值范围为__________．15.一艘轮船以km/h速度向正北方向航行，在处看灯塔在船的北偏东45°方向，1小时30分钟后航行到处，在处看灯塔在船的南偏东75°方向上，则灯塔与的距离为________km．16．双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左右两支上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是________．三、解答题17．（12分）已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18.(12分)某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出的分布列，并求出期望．-16-19.(12分)如图，多面体中，是正方形，是梯形，，，平面且，分别为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．20.(12分)已知椭圆：的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．（1）求与的标准方程；（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．21.(12分)已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求实数的值．（2）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．选考题：请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．22．(10分）（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．-16-（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．23．(10分)（选修4—5：不等式选讲）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．-16-答案123456789101112DDBABDCCDCBC1.【答案】D【解析】，，，，，z的共轭复数在复平面内对应点坐标为，z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D．2.【答案】D【解析】，，∴；故选D．3.【答案】B【解析】令，恒成立，在单调递增，∴，∴，B为真命题或者排除A、C、D．故选B．4.【答案】A【解析】数列的前项和(1)，时，(2)，(1)－(2)得:，又，-16-时，为等比数列；若为等比数列，则，即“”是“为等比数列”的充要条件，故选A．5.【答案】B【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B．6.【答案】D【解析】由，，的面积为，得：，从而有，由余弦定理得：，即，故选：D．7.【答案】C【解析】由题意得：，，，∴故选：C8.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，，，成等差数列，则即，-16-解得，，则；故选C．9.【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中平面，∴，，，∴，，．该几何体最长棱的棱长为．故选D．10.【答案】C【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为．由题意得，解得．故二项式为，其展开式的通项为，．令得．所以的系数为．选C．11.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为-16-函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选12.【答案】C【解析】当时，，∴，令，则，即当时，单调递增．又为上的偶函数，∴为上的奇函数且，则当时，单调递增．不等式，当时，，即，，即，∴；当时，，，，即，∴．综上，不等式的解集为．故选C．13.【答案】-3【解析】已知，，若与平行则，故答案为：-3．-16-14.【答案】【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数过点时，取得最小值，此时最小值为；当目标函数过点时，取得最大值，此时最小值为，所以的取值范围为．15.【答案】72【解析】由题意，中，，，km，，由正弦定理，可得km．故答案为：72km．16.【答案】【解析】根据题意画出图形如图所示．由题意得，∴．由，可设，∵，∴可得点的坐标为．∵点，在双曲线上，∴，消去整理得，∴离心率．-16-17.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为．由已知得，解得，所以数列的通项公式为．（2），所以．18.【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）由题，解得，．（2）成绩在的同学人数为6，成绩在人数为4，，，，；所以的分布列为：．-16-19.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵，是正方形，∴，∵分别为棱的中点，∴，∵平面，∴，∵，，∴平面，∴，从而，∵，是中点，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由已知，，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，∴，，设平面的一个法向量为，由得，令，则，由（1）可知平面，∴平面的一个法向量为，设平面和平面所成锐二面角为，则，所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为．-16-20.【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，，解得，，故椭圆的标准方程为．又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为．（2）显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，则，，，即，联立，消去整理得，．依题意，，是方程的两根，，，，将和代入得，解得，（不合题意，应舍去）联立，消去整理得，，令，解得．经检验，，符合要求．此时，，-16-．21.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可得：，∵是函数的一个极值点，∴，∴，计算得出．代入，当时，；当时，，∴是的极值点．∴．（2）当时，函数的图象恒不在直线上方，等价于，恒成立，即，恒成立，由（）知，，令，得，，①当时，，∴在单调减，，与矛盾，舍去．②当时，，在上单调递减，在上单调递增，∴在或处取到，，，∴只要，-16-计算得出．③当时，，在上单调增，，符合题意，∴实数的取值范围是．22.【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；，①，②①×②消可得：，因为，所以，所以的普通方程为．（2）直线的直角坐标方程为：．由（1）知曲线与直线无公共点，由于的参数方程为（为参数，，），所以曲线上的点到直线的距离为：，所以当时，的最小值为．23.【解析】（1）当时，原不等式可化为，①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以．③当时，原不等式可化为，解得，所以，-16-综上所述，当时，不等式的解集为或．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以，解得，故所求实数的取值范围是．-16-
