上海市格致中学2022届高三数学下学期模拟考试试题理(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)一、填空题：（每小题4分，满分56分）1、已知复数满足（是虚数单位），则＿＿＿；2、不等式的解为＿＿＿；（用集合或区间表示也可以）3、若全集，集合，，则＿；4、若二项式展开式的常数项为，则＿＿＿＿；5、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为的半圆，则此圆锥的体积为＿＿＿；6、某学院的、、三个专业共有名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本。已知该学院的专业有380名学生，专业有名学生，则在该学院的专业应抽取＿＿＿＿名学生；7、已知函数且的反函数为。若在上的最大值和最小值互为相反数，则的值为＿＿＿＿＿；8、数列满足：对于任意的，。若，则＿；9、若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、。是坐标原点，则 ___________；10、袋中装有同样大小的个小球，其中有个白球，个红球。从中任取个球，取到白球得1分，取到红球得5分。记随机变量为一次取得的两球的分数之和，则11、若双曲线上存在四个不同的点、、、，使四边形为菱形，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿；12、在极坐标系中，是极点，点的极坐标为，则称为向量的方向角，方向相同的两平行向量的方向角相同。已知、7\n，则向量的方向角等于＿＿＿＿＿＿＿＿；13、定义在上的偶函数对于任意的有，且当时，。若函数在上只有四个零点，则实数的值为＿＿＿＿＿＿；ABOMN14、某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为，中心角为。甲由扇形中心出发沿以每秒米的速度向快走，同时乙从出发，沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑。记秒时甲、乙两人所在位置分别为、，，通过计算、、判断下列说法是否正确。（1）当时，函数取最小值；（2）函数在区间上是增函数；（3）若最小，则； （4）在上至少有两个零点。其中正确的判断序号是＿＿＿＿＿（把你认为正确的判断序号都填上）。（2）、（3）、（4）。二、选择题：（每小题5分，满分20分）15、“”是“关于的实系数方程没有实数根”的 （A）A、必要不充分条件； B、充分不必要条件；C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件。16、设是平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 （C）A、若； B、若；C、若，则； D、若。17、设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，且、、成等差数列，则的长为 （C）A、； B、； C、； D、。18、是定义在上周期为的周期函数，当时，。直线与函数的图像在轴右边交点的横坐标从小到大组成数列。则（A）7\nA、对于恒成立； B、对于恒成立； C、对于恒成立； D、与的大小关系不确定。三、解答题：（共5大题，满分74分，解题要有必要的步骤）19、（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）已知函数。（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）在△中，若，求角的值。解：（1）2分所以周期3分由，得即函数单调递增区间为。6分（2）、为三角形内角，所以、，由且得：或，8分又，所以或或10分所以或。12分20、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）已知函数。（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，在上恒成立，求的取值范围。解：（1）函数定义域，当时，函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数；2分当时，，时，是奇函数，4分时，，7\n不是奇函数；，不是偶函数。6分综上知：当或时，是非奇非偶函数；当时，是奇函数。7分（2）时，，在上恒成立。 即： 9分由，则在上恒成立。 11分当时，，所以， 13分即。 14分21、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）如图：是棱长为的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于。（1）设，将长表示为的函数，并求此函数的值域；A1B1C1D1ABCDPMN（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小。解：（1）由题知：，则△是直角三角形。即5分，所以。7分7\n（2）当时，因为，，则。即有，所以即为异面直线与所成的角。10分在直角三角形中，，，则。所以直线与所成的角为。14分22、（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题①6分，②6分）抛物线的焦点为圆：的圆心。（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线与圆相切，交抛物线于、两点：①若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；②求的取值范围。解（1）由得：，圆心，即。所以抛物线方程为3分准线方程为。4分（2）①设：，由与圆相切得（*）6分再由得设，则8分由题意：，得代入（*）得：或所以直线方程为：或。10分②，，7\n将代入化简得：13分由（*）得，所以14分由于，所以或。15分令，知在上递增，在上递减。，，所以取值范围为。16分23、（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题7分） 若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有（为常数），则称数列为“类等比数列”。已知数列满足：，对于任意的，都有。（1）求证：数列是“类等比数列”；（2）若是单调递增数列，求实数的取值范围；（3）设数列的前项和为，试探讨是否存在，说明理由。解：（1）因为，所以，，所以数列是“类等比数列”。4分（2），所以5分当为奇数时，设，则，当是偶数时，设，则。7分因为递增，所以8分即：，解得：。11分7\n（3）由（2）知。当为偶数时，当为奇数时，。即：。14分当为偶数时，，15分当为奇数时，。16分若存在，则，得，所以。17分综上知，当且仅当时存在，此时。18分7
