闸北区2022年高考数学（理科）模拟试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，，则．（0，2）2．已知为等差数列，++=9，=15，则．83．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是．44．已知（其中以为常数且），如果，则的值为.35．设等比数列{}的前n项和为，若，则=．106．湖面上漂着一个表面积为的小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个深2厘米的空穴，则该空穴表面圆形的直径为厘米.127．设向量，，定义一运算：,已知，.点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最小正周期是．8．某小组共有名学生，其中恰有一对双胞胎，若从中随机抽查位学生的作业，若双胞胎的作业同时被抽中概率为，则_______．109．在极坐标系中，两曲线与交于两点，则__4__．10．已知双曲线的渐近线与圆相交，则双曲线两渐近线的夹角取值范围是_____________．11．复数是方程的解，若，且，则的最小值为_________．12．已知函数,集合,集合,则集合所表示的图形面积是___________．13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点.点是曲线与的公共点，则．14．函数，，，，对任意的8，总存在，使得成立，则的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知，则x=(C)（A）4（B）（C）（D）16．若,则的值为（A）（A）（B）0（C）2（D）17．已知定义在函数，存在常数，对任意均有成立，则下列结论中正确的个数是（B）（1）在一定单调递增；（2）在上不一定单调递增，但满足上述条件的所有一定存在递增区间；（3）存在满足上述条件的，但找不到递增区间；（4）存在满足上述条件的，既有递增区间又有递减区间．（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个18．定义域为的函数图象上两点，是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“阶线性近似”．若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为（D）（A）（B）（C）（D）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，某几何体中，正三棱柱的所有棱长都为2，四边形是菱形，其中为的中点.（1）求与所成角的大小；（2）求该几何体的体积.解：（1）8最后一步改为6分（2）共6分20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.中，，，分别是角的对边，向量，,．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．解：----------2分----------5分或------------------------------------------7分（2），………8分8综上……………12分21．（本题满分14分）已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为，其中为给定的大于12的常数。若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当=12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？（全程燃料费=每小时的燃料费实际行驶的时间）解答：设每小时的燃料费为，比例系数为，则1分当时，得k=53分设全程燃料费为y，依题意有6分当，即v=16时取等号所以当时，v=16时全程燃料费最省。9分当时，令任取则8即在上为减函数，当时，y取最小值13分综合得：当时，v=16km/h，实际船速为8km/h，全程燃料费最省，为32000元，当时，当，实际船速为（-8）km/h时，全程燃料费最省，为元.14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分。已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的定点，点为抛物线上的动点.且的外接圆圆心到准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过作圆的两条切线分别交该圆于点，求四边形面积的最小值及此时点坐标.（3）设点，且对抛物线上的任意动点，总为锐角，求实数的取值范围．解xyFPOMN答：（1）的外接圆的圆心在线段的中垂线上，则圆心的纵坐标为故到准线的距离为从而……………(2分)即抛物线的方程为：……………(4分)（2）设∵圆心坐标是抛物线的焦点∴………………………………………(6分)…………………………(8分)∴当时，四边形面积的最小值为，此时点.……(10分)8（3）（理）根据题意：为锐角且∵∴……………………………………………(11分)记：在上恒成立又.当时，即：当时，解得： ∴ …………………………………………………(13分).当时，即：当时，∴ …………………………(15分)综合得：…………………………(16分)23．(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分。对于数列：，记表示实数中最大的数，表示实数中最小的数，，其中．定义变换，将数列变换成数列：．（1）已知数列：和数列，写出数列和；（2）已知数列中任意两项互不相等，证明：数列：中必有两个相邻的项相等；（3）证明：对于有穷数列，与是相同的数列的充要条件是8．解答：（1）由的定义可知：2分同理：即 4分 （２）中4项的大小关系有8种情况。（分类讨论）当时，由定义易得：，命题得证； 5分当时，由定义易得：，命题得证；6分其余6中情况中必有相邻的三项满足：或.若，由定义且，则，命题得证；8分若，由定义且，则，命题得证。 １０分（或分8类讨论也可以）（３）先证充分性：， 所以，即． 12分再证明必要性：首先，证明A中的各项都是非负的。 又,则14分然后，用反证法证明A中的各项都是0.假设中有一个正数，设为中从左至右的第１个正数，则由定义知：，从而， 这说明在中最小值为０，不妨设 １６分8由定义知：，则，得由的定义有：，这与矛盾．故． 18分8
