1．1正弦定理（教学设计）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学过程：一、创设情景、新课引入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB二、新课讲解：(图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,A则bc从而在直角三角形ABC中，CaB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，,C同理可得，ba从而AcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作，C由向量的加法可得则AB∴∴，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析],例1（课本例题）．在中，已知，，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。变式训练1：已知在解：∴由得由得例2．（课本例题）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或⑴当时，，⑵当时，，,评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。变式训练2：（1）在（2）在解：（1）∵∴（2），例3：已知ABC中，A，,求分析：可通过设一参数k(k>0)使,证明出解：设则有，，从而==又，所以=2评述：在ABC中，等式,恒成立。变式训练3：已知ABC中，，求（答案：1：2：3）例4：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：三角形面积（记忆：两边夹角正弦值的一半）附：（课本P8探究与发现的分析）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:三、课堂小结（1）定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。四、课时必记：（优化设计P1知识拓展）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R（其中R指的是三角形外接圆的半径）五、分层作业：A组：：1在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(A)A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形,2．在△ABC中，已知角,则角A的值是（ D） A．15° B．75° C．105° D．75°或15°3．若,则△ABC是（ C ） A．等边三角形 B．有一内角是30° C．等腰直角三角形 D．有一内角是30°的等腰三角形4、(tb0146101)已知ABC中，a=50，b=25，A=450，求B。（答：600或1200）5、(tb0146102)在ABC中，已知a=，b=，B=450，求角A、C和边c。（答：A=600，C=750,c=或A=1200，C=150，c=）B组：1、在△ABC中，，则等于（ A ） A． B． C． D．2、(tb4800310)已知在ABC中，三内角正弦之比为4：5：6，又周长为，求三边长。（略解：2，，3）C组：1、(tb4800302)已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC（备注：内角平分线定理）分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在△ABD内，利用正弦定理得：,在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用
