4-6正弦定理和余弦定理基础巩固强化1.(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )A．120° B．105°C．90°D．75°[答案] A[解析] ∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝＝sinC＋cosC，即sinC＝－cosC，∴tanC＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.故选A.(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若<cosA，则△ABC为( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形[答案] A[解析] 依题意得<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.2．(文)(2011·湖北八校联考)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是( )A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(1,2)[答案] C[解析] 由条件知，asin60°<<a，∴<a<2.9\n(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 由条件知bsinA<a，即2sinA<2，∴sinA<，∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<.3．(2011·福建质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 依题意得b＝＝5，又＝，所以sinC＝＝＝，选B.4．(2012·天津理，6)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )A.B．－C．±D.[答案] A9\n[解析] 由＝及8b＝5c，C＝2B得，5sin2B＝8sinB，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.5．(2011·辽宁理，4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝( )A．2B．2C.D.[答案] D[解析] ∵asinAsinB＋bcos2A＝a，∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，∴sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝.6．(文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )A．30°B．60°C．120°D．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cosA＝，由题知b2－a2＝－bc，c2＝2bc，则cosA＝，又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.(理)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )A．1＋B．3＋C.D．2＋[答案] C[解析] acsinB＝，∴ac＝2，又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.9\n7．在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得＝＝2.8．(2011·广州一测)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．[答案] [解析] 依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcos，解得b2＝3，∴b＝.9．(文)(2012·石家庄质检)在△ABC中，∠A＝60°，BC＝2，AC＝，则∠B＝________.[答案] 45°[解析] 利用正弦定理可知：＝，即＝，∴sinB＝，∵2>，∴BC>AC，∴∠A>∠B，∴∠B＝45°.(理)(2012·北京西城区期末)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b＝，B＝，tanC＝2，则c＝________.[答案] 2[解析] ⇒sin2C＝⇒sinC＝.由正弦定理，得＝，∴c＝×b＝2.10．(2012·河南商丘模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝(3a－c)cosB.(1)求cosB的值；(2)若·＝2，且b＝2，求a和c的值．9\n[解析] (1)由正弦定理得，sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，可得sinA＝3sinAcosB.又sinA≠0，∴cosB＝.(2)由·＝2，可得accosB＝2.又cosB＝，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB，及b＝2，可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，即a＝c.∴a＝c＝.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力.能力拓展提升11.(文)(2011·泉州质检)△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于( )A．30°B．60°C．90°D．120°[答案] B[解析] 依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，又0°<B<180°，所以cosB＝，所以B＝60°，选B.(理)在△ABC中，内角A、B、C对边的长度分别是a、b、c，已知c＝2，C＝，△ABC的面积等于，则a、b的值分别为( )A．a＝1，b＝4B．a＝4，b＝1C．a＝4，b＝4D．a＝2，b＝2[答案] D[解析] 由余弦定理得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，∴ab＝4.联立解得a＝2，b＝2.12.9\n(2011·天津理，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD＝2，则AB＝＝AD，BC＝4.在△ABC中，由正弦定理得＝，在△ABD中，由余弦定理得，cosA＝＝，∴sinA＝，∴sinC＝＝＝，故选D.13．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则∠A的大小为________．[答案] [解析] ∵sinB＋cosB＝sin(B＋)＝，9\n∴sin(B＋)＝1，∵0<B<π，∴B＝，∵＝，∴sinA＝＝＝，∵a<b，∴A<B，∴A＝.(理)(2011·河南质量调研)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3，则△ABC的面积为________．[答案] 2[解析] 依题意得cosA＝2cos2－1＝，∴sinA＝＝，∵·＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝2.14．(2011·安阳月考)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，则＋＝________.[答案] 1[解析] ∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，∴＋＝1.15．(2012·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝2，c＝，cosA＝－.(1)求sinC和b的值；(2)求cos(2A＋)的值．[分析] (1)由cosA＝－及0<A<π，sin2A＋cos2A＝1可求sinA，再由正弦定理求sinC，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可求b的值．(2)由(1)知道sinA，cosA，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A，cos2A，展开cos(2A＋)代入即可．[解析] (1)在△ABC中，9\n由cosA＝－，可得sinA＝.又由＝及a＝2，c＝，可得sinC＝.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0，因为b>0，故解得b＝1.所以sinC＝，b＝1.(2)由cosA＝－，sinA＝得，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAcosA＝－.所以，cos(2A＋)＝cos2Acos－sin2Asin＝.[点评] 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦关系、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查基本运算求解能力．16．(文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m∥n，∴2sinB＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－，又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，9\n∴由余弦定理cosB＝得，a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，S△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA、sinC、sinB成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．[解析] (1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)．在△ABC中，由于sin(A＋B)＝sinC.∴m·n＝sinC.又∵m·n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC.又sinC≠0，所以cosC＝.而0<C<π，因此C＝.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列得，2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得，2c＝a＋b.∵·(－)＝18，∴·＝18.即abcosC＝18，由(1)知，cosC＝，所以ab＝36.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab.∴c2＝4c2－3×36，∴c2＝36.∴c＝6.9
