正弦定理[A级 基础巩固]1．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于( )A．1 B.C．3D.解析：选C C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.故选C.2．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°解析：选B 由正弦定理可知＝，∴sinB＝＝＝，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B 由正弦定理知＝，∴＝，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1，又∵0°<C<180°，∴C＝45°.故选B.4．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B 由正弦定理，得＝，由a＝bsinA，得sinB＝1，所以B＝，即△ABC为直角三角形．5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°5
D．a＝7，b＝5，A＝80°解析：选BC 选项A：因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解．选项B：因为sinC＝＝<1，且c>b，所以角C有两解．选项C：因为sinB＝＝<1，且b>a，所以角B有两解．选项D：因为sinB＝<1，且b<a，所以角B仅有一解．故选B、C.6．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________．解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.答案：7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________．解析：由正弦定理＝，得sinB＝·sinA＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍去)．答案： 38．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．解析：在△ABC中，∵sinB＝，0<B<π，∴B＝或B＝π.又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1.答案：19．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.5
解：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得＝＝2R，∴c＝＝＝5，∴2R＝＝＝10，∴R＝5.10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求的值．解：(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，∴cosA＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由b2＝ac，得＝，∴＝sinB·＝sinB·＝sinA＝.[B级 综合运用]11．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶6，则sinB等于( )A.B.C.D.解析：选A 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶6及正弦定理，得a∶b∶c＝3∶5∶6，则可设a＝3k，b＝5k，c＝6k，k>0.由余弦定理的推论得cosB＝＝＝，则sinB＝＝.12．(多选)在△ABC中，若A>B，则下列不等式中一定正确的是( )A．sinA>sinBB．cosA<cosBC．sin2A>sin2BD．cos2A<cos2B5
解析：选ABD A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，A正确．由于在(0，π)上，y＝cosx单调递减，∴cosA<cosB，B正确．cos2α＝1－2sin2α.∵sinA>sinB>0，∴sin2A>sin2B，∴cos2A<cos2B，D正确．13．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝________，sinA＝________．解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，∴DC＝2，AC＝＝.由正弦定理知，sin∠BAC＝＝×3＝.答案： 14．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：＝.证明：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝180°－β.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得＝，＝.又因为sin(180°－β)＝sinβ，所以＝，即＝.[C级 拓展探究]15．在正弦定理中，设＝＝＝k，试探究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．解：k＝2R.如图①，当A＝90°时，＝BC＝2R.如图②，当A是锐角时，连接BO并延长交⊙O于点A′.可知∠BAC＝∠BA′C.且△BCA′是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠BA′C＝＝，5
∴＝＝2R.当A是钝角时，如图③可知sinA＝sin(180°－A)＝sinA′＝＝，∴＝＝2R.故＝2R恒成立．同理可证＝＝＝2R.5
