正切一、教学内容解析教学内容北师版九年级下册1.1锐角三角函数第1课时教学内容的地位和作用本节课内容是有关“正切”的概念课，与以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系，且首次用符号来表示一种函数.锐角三角函数是函数知识的推广和延伸，也是对直角三角形各元素之间关系的进一步探究，是三角学的起点.正切函数概念的建立是这节课的重点和难点，在形成概念和应用概念的过程中，学生通过自主学习、合作交流解决问题，积累数学活动经验，培养抽象、建模等数学思想.锐角三角函数与勾股定理一样都是解直角三角形很重要的知识内容之一，它揭示了直角三角形中边与角之间的关系，被广泛应用于测量、建筑、工程技术和物理学中，主要是计算距离、高度和角度.正确认识锐角三角函数，是学好解直角三角形的关键，也将为以后继续学习三角函数奠定必要的基础.对于渗透数学思想方法而言，本节课在引入概念、计算化简、解决实际问题时，都要求学生通过画图帮助分析，由图形找出直角三角形中边、角的关系，加深对锐角三角函数概念的理解和应用，是诠释数形结合的理想材料.而数与形的结合不仅是数学自身发展的需要，也是辅助概念性教学、增强元认知策略的需要，对加深理解数学知识、发展数学能力有不可替代的作用.二、教学目标设置1.知识与技能（1）理解正切、坡度的概念，正切与坡度的关系；（2）掌握正切的表示方法，并能运用正切、坡度解决问题.2.过程与方法让学生经历多次猜想、验证，在不断的否定与肯定的过程中，探究如何描述坡面的倾斜程度，培养学生思维的批判性、深刻性．3.情感、态度与价值观经历正切概念的探索过程，体会从生活中的问题抽象出数学模型的建模思想、数形结合的重要性、体验角度和数值一一对应的函数思想，培养学生的符号意识.体会正切在生活中的应用.教学重点：正切概念的探究教学难点：1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；5
2.理解正切的概念.三、学生学情分析在此之前学生已经学习过函数的定义和相似三角形，具备了学习锐角三角函数的知识基础；九年级上学期的学生已经具有一定的空间观念、想象力、几何语言表达能力以及逻辑推理能力.学生已有的知识、经验、能力和思想方法为新的认知活动提供了必要的基础和条件.在研究如何描述坡面的倾斜程度的过程中，学生对所构建的直角三角形的单一元素的研究中得出：直角三角形的锐角可以用来描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.学生可能会想到两条边而如何又会想到两边的比值呢？这种变换思考问题的角度对学生来说还是有困难的.另外，学生虽然学习了一些函数的知识，但是学生对角度与数值之间的对应还是第一次接触，所以对锐角三角函数概念的理解仍显抽象和困难.四、教法与学法依据教学内容、教学目标以及学情分析，本节课的教学策略采用启发式与自主探究相结合的模式.教师的教法突出探究活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出自主、合作、探究的学习理念.整节课的探究活动采用问题引导下的自主探究，在探究中发现并掌握相关知识．五、教学流程（一）创设情境、引入新知人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡.你有没有想过问题1：怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望.（二）合作交流、探究新知1.探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度因为学生对亲身经历的爬山坡有体验，所以设计问题2：爬这两段山坡会有什么不同的感受？哪个坡面更陡？你是如何判断的？利用坡角的大小作出判断，这是绝大多数学生首先想到的办法.除此之外，你还有其它办法来比较哪个坡面更陡吗？引导学生通过多种途径去探讨问题.2.探究是不是可以用“直角三角形的一边”来描述坡面的倾斜程度学生可能会说出：比较坡面的铅直高度（学生可能会说出山高，这时老师注意引导其正确表述出是坡面的铅直高度）你是怎样用坡面的铅直高度来比较哪个坡面更陡的？学生可能会说出：坡面的铅直高度高的更陡.大家同意他的看法吗？请不同意的同学举反例说明（可以在黑板上画图说明，画图说明会更直观、更形象.将实际问题抽象成数学问题，让学生体会建模的思想.同时让学生知道否定一个结论的常用方法------举反例.5
你还有其它的办法来比较哪个坡面更陡吗？类似地，通过画图举反例的方法说明只用坡面的长度、水平宽度也不能描述坡面的倾斜程度.对于边的探讨，不少学生想不到，要引导学生将实际问题抽象成数学问题，构建直角三角形，利用构建的直角三角形通过举反例不断地否定.这里不光让学生体会建模的思想，还要让学生知道：在数学中说明一个结论不成立要举反例.从而得出从单一的元素考虑：锐角可以描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.经历一次次的否定，培养学生思维的批判性.3．探究是不是可以用“直角三角形两边的比”来描述坡面的倾斜程度既然只用一边不行，我们综合考虑两条边.引出问题3：如何改进呢？（引导学生发现）既然坡角可以用来描述坡面的倾斜程度，我们就想办法利用这个结论.两个锐角一样大的直角三角形（画出图形，结合图形说明）对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，这样就沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨：能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？这节课我们来研究倾斜角的对边与邻边的比.证明猜想并得出结论：倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度.通过相似沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符合学生的认知规律.此时学生的思维豁然开朗，同时培养了学生思维的深刻性.此环节的设计正是数学思维的开阔性，多角度，多方位性的展现.师生的共同努力淋漓尽致地演绎了数学体现在思维艺术上的美.从而解决了本节课的第一个难点.4.探究锐角和锐角的对边与邻边的比之间的关系上面的结论告诉我们，锐角和锐角的对边与邻边的比的关系：锐角固定，锐角的对边与邻边的比也固定.初步建立坡角和坡角的对边与邻边的比二者之间的关系，为得到正切的概念打基础.此时学生可能会想到问题4：如果锐角变化了呢？这个比值会怎样呢？（几何画板演示）借助几何画板，从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学，进行图形的动画演示、验证，揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A这两个变量之间一一对应的关系，因此学生会大胆地得出结论：正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边的比值和∠A之间的一种函数.从而确信正切概念建立的科学性.几何画板为学生分散、突破难点提供了较好的素材.于是有在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA===给验证结果下准确结论，并结合图形进行准确地符号表达.类似地，你认为∠B的正切该如何表示？趁热打铁，让学生表示出∠5
B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标.5.回归情境引入如何描述坡面的倾斜程度呢？介绍坡度的概念，记住关系式i==tanA.在日常生活中，刻画倾斜程度常常用坡角（或倾斜角）的大小来表达，但是在大量实际问题中，坡角是不可测量的.所以，可以用坡角的正切描述坡面的坡度（倾斜程度）.可见，坡度(i=tanα)越大,坡角α越大,坡面就越陡.体会数学来源于生活并运用于生活，同时解决情境引入中提出的问题：坡度和坡角都可以用来判别坡面的倾斜程度.6.典例示范例1巩固正切的概念，进一步落实教学目标.例2通过计算正切值判断梯子的倾斜程度来解决实际问题，达到学以致用的目的.（三）题组训练、巩固新知之前我们由证明三个直角三角形两两相似能得到==，通过练习2由在不同的直角三角形中表示∠A的正切得到==，方便简洁多了.所以tanA沟通了直角三角形中的边、角之间的关系，起到了桥梁的作用.练习题1、3是对基础知识的训练.练习2对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化.（四）总结反思、强化新知一节课下来：1.你学习了什么知识？2.你掌握了什么方法？3.你还有什么想法和疑惑？引导学生学会反思、归纳所学的知识、总结学习方法.从知识和方法两方面回顾.将所学的知识系统化，方法技能化..（五）布置作业、应用新知分层作业,各有收获.尊重学生的个性差异，满足不同学习层次的学生的学习需求，进一步拓展学生的能力，将知识的学习转化为技能的提高.要求不同的学生在数学上有不同的发展.5
六、板书设计突出知识要点，展示认知过程，简洁明了，便于学生体会学习所得.5
