第三十章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．下列关系式中，是二次函数(x为自变量)的是( )A．y＝πx2B．y＝2xC．y＝D．y＝－x＋12．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是( )A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x－2)2＋43．一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1m B．5m C．6m D．7m4．下列抛物线中，开口向下且开口最大的是( )A．y＝－x2B．y＝－x2C．y＝x2D．y＝－x25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：x－10123y51－1－11则该二次函数图像的对称轴为( )A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝6．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A．m＜2B．m＞2C．0＜m≤2D．m＜－27．已知点A(－3，y1)，B(1，y2)在二次函数y＝－(x＋2)2＋m的图像上，则y1，y2的大小关系是( )A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定14
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图像是( )(第8题) (第12题)9．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图像不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )A．b≥B．b≥1或b≤－1C．b≥2D．1≤b≤210．已知函数y＝当y＝5时，x的值是( )A．6B．－C．－或6D．±或611．已知二次函数y＝x2＋(2m－1)x，当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )A．m>B．m<C．m≥D．m≤12．如图，这是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图像，则a的值为( )A．0B．1C．－1D．－1或113．矩形Ⅰ的面积为6，矩形Ⅱ的三条边总长为6，则下列说法不正确的是( )A．矩形Ⅰ中一组邻边的长满足反比例函数关系B．矩形Ⅰ中一组邻边的长可能是3＋和3－C．矩形Ⅰ的周长不可能是8D．矩形Ⅱ的最大面积是314
14．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)中，a＞0，顶点坐标为，给出下列结论：①若点(n，y1)与点在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2－bx＋c－m＋1＝0无实数解，那么( )A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误15．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c的一部分，抛物线的顶点是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx＋n与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1.其中正确的是( )A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤(第15题) (第16题) (第19题)16．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y＝x2－6x＋5在x轴下方的图像沿x轴翻折，翻折后得到的图像与抛物线C在x轴上方的图像记为G，已知直线l：y＝x＋m与图像G有两个公共点，求m的取值范围．甲的结果是－5＜m＜－1，乙的结果是m＞.下列说法正确的是( )A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确二、填空题(17题3分，其余每空2分，共11分)17．点A(－4，5)，B(1，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图像上，则k＝________．18．又到了皮皮虾上市的季节，北国超市从秦皇岛引入了备受大家欢迎的皮皮虾，成本为每千克40元．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg.销售单价每涨1元，月销售量减少10kg，针对这种皮皮虾的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大，月利润最大为________元．14
19．如图，在边长为10的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，PE交BC于点E.设AP＝x，BE＝y，则y与x的函数关系式为________________，BE的最大长度为________．三、解答题(20题8分，21～23题每题9分，24～25题每题10分，26题12分，共67分)20．二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表．x…－1024…y…－511m…(1)求这个二次函数的表达式；(2)求这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值．21．如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图像与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图像，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．(第21题)14
22．把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C2的函数关系式；(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．23．已知抛物线经过点(2，－5)，顶点坐标为(－1，4)，直线l的表达式为y＝2x＋m.(1)求抛物线的表达式；(2)若抛物线与直线l有两个公共点，求m的取值范围；(3)若抛物线与直线l只有一个公共点P，求点P的坐标；14
(4)设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求在(3)的条件下△PAB的面积．24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润为6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天的产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．14
25．有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆形，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户才能使透光面积最大？这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大，约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6m．解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与上面的例题相比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明理由．(第25题)26．已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝ax2－2ax＋a＋k(a，k均为常数且a≠0)上，L交y轴于点C，连接CP.(1)用a表示k，并求L的对称轴；(2)当L经过点(4，－7)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；(3)横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点，求a的取值范围；14
(4)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t＋1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．(第26题)14
答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A7．B8．C 点拨：由二次函数y＝Ax2＋Bx＋C的图像开口向下，得A＜0.又由图像的对称轴大于0，得－＞0，∴B＞0.∵A＜0，∴反比例函数y＝的图像位于第二、四象限．∵B＞0，∴正比例函数y＝Bx的图像经过第一、三象限．故选C.9．A 10.C 11.D 12.B 13.D14．A 点拨：∵顶点坐标为，n＜，∴点(n，y1)关于抛物线的对称轴的对称点为(1－n，y1)，1－n＞.∴点(1－n，y1)与点在该抛物线上．∵(1－n)－＝n－＜0，∴＜1－n＜－2n.∵A＞0，∴当x＞时，y随x的增大而增大．∴y1＜y2，故①正确．把代入y＝Ax2＋Bx＋C，得m＝A＋B＋C.∵－＝，∴A＋B＝0.∴一元二次方程Ax2－Bx＋C－m＋1＝0中，B2－4A(C－m＋1)＝B2－4AC＋4Am－4A＝B2－4AC＋4A－4A＝(A＋B)2－4A＝－4A＜0.∴关于x的一元二次方程Ax2－Bx＋C－m＋1＝0无实数解，故②正确．15．C 点拨：由题意知抛物线y1＝Ax2＋Bx＋C的对称轴为直线x＝－＝1，∴2A＋B＝0，故①正确．14
由图像可知A＜0，C＞0，－＞0，∴B＞0，∴ABC＜0，故②错误．∵抛物线y1＝Ax2＋Bx＋C的顶点坐标是A(1，3)，∴抛物线y1＝Ax2＋Bx＋C与直线y＝3只有一个交点，∴方程Ax2＋Bx＋C＝3有两个相等的实数根，故③正确．设抛物线与x轴的另一个交点是(x2，0)，由抛物线的对称性可知＝1，∴x2＝－2，即抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，故④错误．通过函数图像可直接得到当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确．故选C.16．C 点拨：令y＝0，得x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5，故抛物线C与x轴的交点的坐标为(1，0)，(5，0)．将(1，0)代入y＝x＋m，得m＝－1，将(5，0)代入y＝x＋m，得m＝－5，∴－5＜m＜－1.由题意易得，翻折后的抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋4(1<x<5)，由得x2－5x＋5＋m＝0，当B2－4AC<0时，25－20－4m<0，解得m>，∴当m＞时，直线l：y＝x＋m与图像G有两个公共点，综上所述，当m＞或－5＜m＜－1时，直线l：y＝x＋m与图像G有两个公共点．故选C.二、17.018．70；900019．y＝－(x－5)2＋(0<x<10)；点拨：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∴△ADP∽△BPE.∴＝，即＝，整理得y＝－(x－5)2＋(0＜x＜10)，当x＝5时，y有最大值.BE的最大长度为.14
(第19题)三、20.解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴这个二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋1.(2)∵y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，∴其图像的顶点坐标为(1，3)．当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.21．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m，得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1.∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1.当x＝0时，y＝4－1＝3，∴C点坐标为(0，3)．∵点C和点B关于对称轴x＝2对称，∴B点坐标为(4，3)．分别将点A(1，0)，B(4，3)的坐标代入y＝kx＋B，得解得∴一次函数的表达式为y＝x－1.(2)由(1)知A，B两点的坐标分别为(1，0)，(4，3)．由图像可知，当1≤x≤4时，kx＋B≥(x－2)2＋m.22．解：(1)∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝(x＋1－4)2＋2－5，即y＝(x－3)2－3.(2)动点P(A，－6)不能在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为y＝(x－3)2－3，∴函数的最小值为－3，∵－6＜－3，14
∴动点P(A，－6)不能在抛物线C2上．(3)∵抛物线C2的函数关系式为y＝(x－3)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2.23．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(－1，4)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋4，将(2，－5)代入，解得a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.(2)由得x2＋4x＋m－3＝0，∴b2－4ac＝16－4(m－3)＝－4m＋28.当－4m＋28＞0，即当m＜7时，抛物线与直线l有两个公共点．(3)由(2)知，当－4m＋28＝0，即m＝7时，抛物线与直线l只有一个公共点，由解得故点P的坐标为(－2，3)．(4)令y＝0，得0＝－x2－2x＋3，解得x1＝－3，x2＝1，∴AB＝4，∴S△PAB＝×4×3＝6.24．解：(1)由题意可知，y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)．(2)由题意，得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．∴该产品的质量档次为第6档次．25．解：(1)由已知得AD＝＝(m)，∴窗户的透光面积为×1＝(m2)．14
(2)窗户透光面积的最大值变大．理由：设AB＝xm，则AD＝m.∵3－x＞0，且x＞0，∴0＜x＜.设窗户透光面积为Sm2，由已知得S＝x＝－x2＋3x＝－＋.∴当x＝时，S最大＝＞1.05.∴与例题相比，现在窗户透光面积的最大值变大．26．解：(1)∵点P(2，－3)在抛物线L：y＝ax2－2ax＋a＋k(a，k均为常数，且A≠0)上，∴－3＝4a－4a＋a＋k，∴k＝－3－a.L的对称轴为直线x＝－＝1.(2)∵L经过点(4，－7)，∴16a－8a＋a＋k＝－7，又由(1)知k＝－3－a，∴8a＝－4，解得a＝－，∴k＝－，∴L的表达式为y＝－x2＋x－3.∵y＝－x2＋x－3＝－(x－1)2－，∴顶点坐标为.(3)易得顶点坐标为(1，－a－3)．∵L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点，∴2＜－a－3≤3，∴－6≤a＜－5.(4)－1≤t≤2.14
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