第三十章达标检测卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．下列函数中是二次函数的是( )A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝2．点A(2，3)在函数y＝ax2－x＋1的图像上，则a等于( )A．1B．－1C．2D．－23．对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图像，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－2C．顶点坐标是(2，1)D．与x轴有两个交点4．y＝x2－1的图像可由下列哪一个函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到？( )A．y＝(x－1)2＋1B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝(x－1)2－3D．y＝(x＋1)2＋35．一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1m B．5m C．6m D．7m6．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，那么函数表达式为( )A．y＝－x2＋2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝－x2－2x＋3D．y＝－x2－2x－37．二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点个数是( )A．0B．1C．2D．38．在同一坐标系中，与函数y＝2x2的图像关于x轴对称的函数为( )A．y＝x2B．y＝－x2C．y＝－2x2D．y＝－x29．二次函数y1＝ax2－x＋1的图像与y2＝－2x212
的图像形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数y1＝ax2－x＋1的图像的顶点坐标是( )A. B.C. D.10．若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x－5的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y211．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图像可能是( )12．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )A．－1＜x＜4B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4D．x＜－1或x＞313．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )A．(，)B．(2，2)C．(，2)D．(2，)14．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴对称的点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6.其中正确判断的序号是( )12
A．①B．②C．③D．④15．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点，过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图像是( ) 16．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下水面宽度为20m，拱顶距离水平面4m，建立如图所示的平面直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行？( )A．2.76mB．6.76mC．6mD．7m二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)17．如图，二次函数y＝x2－x－6的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．12
18．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为____________．19．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E.设AP＝xcm，BE＝ycm，则y与x的函数关系式为________________，BE的最大值为________．三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)20．已知抛物线y＝3x2－2x＋4.(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．21．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－1024…12
y…－511m…求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值．22．如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图像与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图像，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．23．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为xs，12
△PBQ的面积为ycm2.(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的最大面积．24．例题：有一个窗户形状如图①，上半部分是一个半圆形，下半部分是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案：当窗户上半部分的半径约为0.35m时，透光面积最大，最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上半部分改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6m．解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明理由．25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知用这种设备的月产量x(套)表示每套的售价y1(万元)的表达式是y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y212
(万元)存在如图所示的函数关系．(1)直接写出y2与x之间的函数表达式．(2)求月产量x的范围．(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．12
答案一、1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D11．C 12．B13．C 点拨：将A(－2，4)的坐标代入y＝ax2，得4＝a×(－2)2，解得a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.由题意得OB＝OD＝2，CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2.令y＝2，得2＝x2，解得x＝±.∵点P在第一象限，∴点P的坐标为(，2)，故选C.14．C 15．A16．B 点拨：设该抛物线的表达式为y＝ax2，把x＝10，y＝－4代入表达式可得－4＝a×102，解得a＝－，故此抛物线的表达式为y＝－x2.因为桥下水面宽度不得小于18m，所以令x＝9，可得y＝－×81＝－3.24.此时水深6＋4－3.24＝6.76(m)．即桥下水深6.76m时正好通过，所以超过6.76m时则不能通过．二、17．15 18．x1＝－1，x2＝319．y＝－x2＋x；cm点拨：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∴△ADP∽△BPE.∴＝，即＝.∴y＝－x2＋x，整理得y＝－(x－5)2＋.∵0＜x＜10，∴当x＝5时，y有最大值.12
三、20．解：(1)y＝3x2－2x＋4＝3[x2－x＋－]＋4＝3－＋4＝3(x－)2＋.(2)开口向上，对称轴是直线x＝.21．解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴这个二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋1.(2)∵y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，∴图像的顶点坐标为(1，3)．当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.22．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m，得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1.∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1.当x＝0时，y＝4－1＝3，∴C点坐标为(0，3)．∵点C和点B关于直线x＝2对称，∴B点坐标为(4，3)．分别将A(1，0)，B(4，3)的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝x－1.(2)1≤x≤4.23．解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，12
BQ＝xcm，∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－＋.∴当0＜x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y最大＝20，即△PBQ的最大面积是20cm2.24．解：(1)由已知得AD＝m，∴窗户的透光面积为×1＝(m2)．(2)窗户透光面积的最大值变大．理由：设AB＝xm，则AD＝m.∵3－x＞0，且x＞0，∴0＜x＜.设窗户透光面积为Sm2，由已知得S＝x＝－x2＋3x＝－＋.∴当x＝时(x＝在0＜x＜的范围内)，S最大＝＞1.05.∴与例题比较，窗户透光面积的最大值变大．25．解：(1)y2与x之间的函数表达式为y2＝500＋30x.(2)依题意，得解得25≤x≤40.(3)设这种设备的月利润为w(万元)，则w＝xy1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋140x－500，∴w＝－2(x－35)2＋1950.∵25<35<40,∴当x＝35时，w最大＝1950.即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1950万元．12
26．解：(1)联立解得∴B点坐标为(－1，1)．又C点为B点关于原点的对称点，∴C点坐标为(1，－1)．∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，∴A点坐标为(0，－1)．设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.(2)①当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.联立解得或∴P点坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)．②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD.∵线段BC的长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．又易知∠PED＝∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大．∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t，t2－t－1)，E点坐标为(t，－t)．12
∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．12
