期末达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )A．y＝－x＋1B．y＝x2－1C．y＝D．y＝－x2＋12．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线的函数表达式是( )A．y＝(x－2)2－1B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x＋2)2＋1D．y＝(x＋2)2－13．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( )A．15°B．18°C．20°D．28°4．如图，在正方形网格中，四边形ABCD为菱形，则tan等于( )A. B.C. D.5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是( )A．图象关于直线x＝1对称B．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4C．－1和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大7．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙13
O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长等于( )A．12B．6C．8D．108．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A. B.C.D.9．如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方向角为北偏东80°，测得C处的方向角为南偏东25°，航行1h后到达C处，在C处测得A的方向角为北偏东20°，则C到A的距离是( )A．15kmB．15kmC．15(＋)kmD．5(3＋)km10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过点A的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( ) 二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：sin245°－＋×(－2023)0＋3tan30°＝________.13
12．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是______________．13．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝________．14．如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1:5，则AC的长度是________cm.15．已知圆锥的母线长R为6cm，底面半径r为3cm，则圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为________．16．如图，已知直线y＝x与抛物线y＝－x2＋6交于A，B两点，点P在直线AB上方的抛物线上运动．当△PAB的面积最大时，点P的坐标为________．17．一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4.为保证安全，车顶离隧道至少要有0.5m的距离，则货车的限高应为________．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且＝.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tanE＝；④S△DEF＝4.其中正确的有________．三、解答题(19题8分，20，21每题10分，22，23每题12分，24题14分，共66分)13
19．计算：(1)2sin30°－3tan45°·sin45°＋4cos60°；(2)＋cos45°·sin60°.20．如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过O(0，0)，A(2，0)两点．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点，并说明理由．13
21．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，AB∥OC.(1)求证：AC平分∠OAB.(2)过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P.若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC.(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)求证：AC2＝AD·AB.(3)若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．23．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC13
＝1m.(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1m)(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)13
24．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)．(1)求抛物线的表达式及A，B两点的坐标．(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求出AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由．(3)在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的表达式．13
答案一、1.B2．A 点拨:将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，得抛物线y＝(x－2)2，再向下平移1个单位长度，得抛物线y＝(x－2)2－1.故选A.3．B 4.A5．C 点拨:A.由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知a＜0，由直线可知a＞0，错误；B.由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知a＞0，而抛物线开口向下，与二次函数y＝x2＋a矛盾，错误；C.由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知a＜0，由直线可知a＜0，正确；D.由图可知直线与y轴交于负半轴，这与一次函数y＝ax＋1矛盾，错误．故选C.6．D 7.B8．C 点拨:由折叠的性质可知，EA＝EB，设CE＝x，则AE＝8－x＝EB.在Rt△ECB中，BE2＝BC2＋CE2，∴(8－x)2＝62＋x2，解得x＝.∴tan∠CBE＝＝.9．D 点拨:过点B作BD⊥AC于点D，∠BCD＝45°，BC＝30km，则CD＝BD＝15km，∠DBA＝75°－45°＝30°，∴AD＝BD·tan30°＝15×＝5km.故AC＝CD＋AD＝15＋5＝5(3＋)km，故选D.10．D二、11.1－2＋12．－3＜x＜1 点拨:根据二次函数的图象可知抛物线的对称轴为直线x＝－1，已知抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，根据对称性，可知另一个交点为(－3，0)，所以当y＞0时，x的取值范围是－3＜x＜1.13．2cm14．210 点拨:过点B作BD⊥AC于点D，则AD＝2×30＝60(cm)，BD＝18×3＝54(cm)．由斜坡BC的坡度i＝1:5，得CD＝5BD＝5×54＝270(cm)．∴AC＝CD－AD＝270－60＝210(cm)．15．180° 点拨:设圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为n°.∵圆锥的底面周长＝2π·r＝6πcm，∴扇形弧长l＝6πcm.又∵R＝6cm，∴6π＝，∴n＝180.即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为180°.13
16. 点拨:本题利用割补法．如图，作PM⊥x轴交AB于点M.设点P的坐标为，则点M的坐标为，故PM＝－a2－a＋6.由求得点A，B的横坐标分别为－6，4.S△PAB＝S△PAM＋S△PBM＝×(6＋4)×PM＝－(a＋1)2＋，故当a＝－1时，△PAB的面积最大，此时－a2＋6＝，所以点P的坐标为.17．3.25m 点拨:当x＝1或x＝－1时，货车车顶离隧道最近．当x＝1时，y＝－＋4＝3，∴货车的限高为3－0.5＝3.25(m)．18．①②④三、19.解：(1)原式＝2×－3×1×＋4×＝3－.(2)原式＝＋×＝－＋＝－＋＝－.20．解：(1)∵二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过O(0，0)，A(2，0)两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.(2)点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝60°，又∵A′B⊥x轴，∴OB＝OA′·cos∠AOA′＝2×＝1，A′B＝OA′·sin∠AOA′＝2×＝.∴A′点的坐标为(1，)．由题意知该函数的表达式为y＝a(x－1)2＋，13
∴该函数的顶点坐标为(1，)．∴点A′是函数y＝a(x－1)2＋的图象的顶点．21．(1)证明：∵AB∥OC，∴∠C＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC.∴∠BAC＝∠OAC，即AC平分∠OAB.(2)解：∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝1.∵∠AOE＝30°，∠OEA＝90°，∴∠OAE＝60°.∴∠EAP＝∠OAE＝30°.∵tan∠EAP＝，∴PE＝AE·tan∠EAP＝1×＝，∴PE的长是.22．(1)证明：连接OC.∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠CAD＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.13
∵∠DAC＝∠BAC，∴∠ACD＋∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°.∴EF是⊙O的切线．(2)证明：连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°＝∠ACB.又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.∴＝，即AC2＝AD·AB.(3)解：由(1)知∠ACD＋∠ACO＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠OCA＝60°.又∵OC＝OA，∴△ACO是等边三角形．∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°.在Rt△ADC中，∵∠ACD＝30°，AC＝2，∴AD＝1，CD＝.∴S阴影＝S梯形OCDA－S扇形COA＝(1＋2)×－＝－.23．解：(1)由题意可得∠BAD＝18°.在Rt△ABD中，AB＝≈≈5.6(m)．答：应在地面上距点B约5.6m远的A处开始斜坡的施工．(2)能．理由：如图，过点C作CE⊥AD于点E，则∠ECD＝∠BAD＝18°.13
在Rt△CED中，CE＝CD·cos18°≈2.8×0.95＝2.66(m)．∵2.66＞2.5，∴能保证货车顺利进入地下停车场．24．解：(1)由题意可写出抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－(a≠0)．∵抛物线经过点C(0，2)，∴a(0－4)2－＝2，解得a＝.∴y＝(x－4)2－，即y＝x2－x＋2.当y＝0时，x2－x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝6，∴A(2，0)，B(6，0)．(2)存在．由(1)知，抛物线的对称轴l为直线x＝4.易知A，B两点关于l对称，连接CB交l于点P，连接AP，此时AP＋CP的值最小．则AP＝BP，∴AP＋CP＝BC.∵B(6，0)，C(0，2)，∴OB＝6，OC＝2.∴BC＝＝2.∴AP＋CP的最小值为2.(3)连接ME.13
∵CE是⊙M的切线，∴CE⊥ME.∴∠CEM＝90°.∴∠COD＝∠DEM＝90°.由题意，得OC＝ME＝2，∠ODC＝∠MDE，∴△COD≌△MED.∴OD＝DE，DC＝DM.设OD＝x，则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2，∴x2＋22＝(4－x)2.∴x＝.∴D.设直线CE的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，∵直线CE过C(0，2)，D两点，则解得∴直线CE的表达式为y＝－x＋2.13
