第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.cos30°的值为( )A.B.C.D.2．如图，已知Rt△BAC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( )A.2B.8C.2D.43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝，BC＝2，那么sin∠ACD等于( )A.B.C.D.4．若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A.20°B.30°C.40°D.50°5．已知cosθ＝0.2534，则锐角θ约等于( )A.14.7°B.14°7′C.75.3°D.75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的式子中正确的是( )A.CD＝bsin33°＋aB.CD＝bcos33°＋aC.CD＝btan33°＋aD.CD＝＋a7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )9
A.2B.C.D.8．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝(1＋)，则BC等于( )A.2B.C.2D.1＋9．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A.82mB.163mC.52mD.30m10．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3m，则鱼竿转过的角度是( )A.60°B.45°C.15°D.90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tanα＝________．12．若反比例函数y＝的图象经过点(tan30°，cos60°)，则k＝________．13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则AB＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40m的牌子，当他沿山坡前进50m时，他又看见一个标注海拔70m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．9
16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，2)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．17．如图，一棵树的枝叶部分AB在太阳光下的投影CD的长是5.5m，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB的长约为__________(结果精确到0.1m．参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA＝3m，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面0.3m，秋千向两边摆动，当踏板处于A′位置时，摆角最大，此时∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01m)．19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20nmile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1h后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离约是________nmile(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4)．20．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝________.9
三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．计算：(1)2－1－sin60°＋(π－2023)0＋；(2)＋4cos60°·sin45°－.22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，＝，点E是AB的中点，tanD＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A9
在西北方向上，如图，量得BC长为200m，求该河段的宽度(结果保留根号)．25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30nmile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN9
上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1m，参考数据：≈1.7)9
答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C7．D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°.∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.二、11.1 12. 13.9 14.3m15．3∶4 16.(8，2)17．7.0m 点拨：过点B作BE∥CD，交AD于点E.∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的，∴tan52°＝，BE＝CD＝5.5m.∴AB＝5.5×tan52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A′D⊥OA于点D，A′C垂直地面于点C，延长OA交地面于点B.易得四边形BCA′D为矩形，∴A′C＝DB.∵∠AOA′＝50°，且OA＝OA′＝3m，∴在Rt△OA′D中，OD＝OA′·cos∠AOA′≈3×0.6428≈1.93(m)．∵AB＝0.3m，∴OB＝OA＋AB＝3.3m.∴A′C＝DB＝OB－OD≈1.37m.19．2420. 点拨：延长CA到F使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G.根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tanF的值，进而求出tanE的值．三、21.解：(1)原式＝－×＋1＋＝－＋1＋＝；9
(2)原式＝－(＋)＋4××－(－)＝－－＋－＋＝－2＋.22．解：由2a＝3b，可得＝.设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝＝＝k.∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝.23．解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.∵点E是AB的中点，CE＝1，∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2.∴∠B＝∠ECB.∵＝，∴设BC＝3x，则CD＝2x.在Rt△ACD中，tanD＝2，∴＝2.∴AC＝4x.在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝＝5x，∴sin∠ECB＝sinB＝＝.由AB＝2，得x＝，∴AD＝＝＝2x＝2×＝.24．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.根据题意知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴BD＝BC－CD＝200－AD.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝(200－AD)．∴AD＋AD＝200.∴AD＝＝300－100(m)．答：该河段的宽度为(300－100)m.25．解：如图，过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP＝xnmile.在Rt△APC中，∵∠APC＝90°，∠PAC＝90°－60°＝30°，9
∴tan∠PAC＝＝.∴CP＝xnmile.在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，∴BP＝AP＝xnmile.∵PC＋BP＝BC＝30×＝15(nmile)，∴x＋x＝15.解得x＝.∴PB＝nmile.∴航行时间为÷30＝(h)．答：该渔船从B处开始航行h，离观测点A的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA.由已知得AP＝39m，在Rt△APH中，PH＝＝＝36(m)．答：此时汽车与点H的距离为36m.(2)由题意，隔音板位置应从P到Q，在Rt△ADH中，DH＝＝＝15(m)；在Rt△CDQ中，DQ＝＝＝78(m)．∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－15≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89m长．9
