圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系［知识要点归纳］1.圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。3.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。4.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。距也不相切。（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。下面举四个错例：这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，∠CEA、∠BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。（3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的14,“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。5.1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。6.圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。7.辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。【典型例题】例1.已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分∠APC。求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC14,分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO过圆心，利用弦心距相等可以解决。证明：（1）过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N∵PO平分∠APC∴OM＝ON∴AB＝CD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）此题还有几种变式图形，道理是一样的。弦AB、DC的交点在圆上，即B、P、D三点重合。若PO平分∠APC，求证：PA＝PC。弦AB、CD交于P点（P点在圆内）PO平分∠APC，求证：AB＝CD。此题还可将题设与结论交换一下，即已知AB＝CD，求证：PO平分∠APC，证法与上面一样，利用弦心距等。（2）在Rt△POM和Rt△PON中，14,即PA＝PC例2.如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（）分析：解法一：故选A。14,解法二：例3.求证：OE＝OF证法一：连结OC、OD14,证法二：过O点作OM⊥CD于N交⊙O于M例4.如图，⊙O中AB是直径，CO⊥AB，D是CD的中点，DE∥AB。分析：度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出∠COE、∠AOE的度数。证明：连结OE14,例5.交AB于M、N。求证：AM＝MN＝NB解析一：14,证法一：连结OE、AE，设等边△ABC的边长为2a解析二：证法二：14,如图，连结OE，设AC＝2a，则AC＝AB＝2OE＝2a解析三：要证AM＝MN＝NB，即证AM：MO＝2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M是△ACG的重心，问题得证。（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的2倍）证明三：连结AE，并延长交CO的延长线于G设AC＝2a，则有AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE为等边三角形）∵AC＝BC，AO＝OB∴AO⊥CG，∠CAB＝∠GAO＝60°，AO＝AO∴△AOC≌△AOG∴OC＝OG，且AG＝AC＝2a∵AE＝a，∴AE＝EG＝a即E为AG中点，O为CG中点∴M为△ACG的重心14,【模拟试题】一.选择题。1.在⊙O与⊙O'中，若中，则有（）A.B.C.D.的大小无法比较2.半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（）A.B.C.D.3.在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一个圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是（）A.B.C.D.4.在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A.B.C.24D.165.在⊙O中，两弦AB＜CD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是（）A.B.C.D.无法确定6.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，，，则∠DAC的度数是（）A.70°B.45°C.35°D.30°二.填空题。1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。2.一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。14,3.在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。4.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于E，且∠AEC＝30°，AE＝1cm，BE＝5cm，那么弦CD的弦心距OF＝_______cm，弦CD的长为________cm。5.已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一已知点P的最短的弦长为8cm，则OP＝_______。6.已知A、B、C为⊙O上三点，若度数之比为1：2：3，则∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。7.已知⊙O中，直径为10cm，是⊙O的，则弦AB＝_________，AB的弦心距＝_________。三.解答题。1.如图：已知，OA为⊙O的半径，AC是弦，OB⊥OA并交AC延长线于B点，OA＝6，OB＝8，求AC的长。2.如图，中，，⊙O在的三边上所截得的弦长都相等，求∠BOC的度数。3.已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD，且AB⊥CD于E，BE＝7，AE＝3，OG⊥AB于G，求：OG的长？14,4.已知：如图，，求∠OFE的度数。5.如图，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD＝CO，使的度数为40°，求的度数。6.如图：已知，⊙O中，，OB、OC分别交AC、DB于M、N。求证：是等腰三角形。7.如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E。求证：DE＝AE。14,【试题答案】一.选择题。1.D2.B3.D4.B5.A6.C二.填空题。1.90°2.300°3.4.5.3cm6.60°，120°，180°7.三.解答题。1.过O点作OD⊥AB于D根据射影定理：2.提示：O是中∠B、∠C的角平分线交点。3.OG＝2过O点作OM⊥CD∴四边形OGEM是正方形4.5.120°。连结OD、OE。14,6.证明：又∵OB⊥AC，OC⊥BD∴OM＝ON是等腰三角形7.证明：连结OE，过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N∵AB＝CD，∴OM＝ON又∵OE＝OE，∴ME＝EN即AE＝DE14
