19.3.2正方形的判定【教学目标】1．能进一步理解掌握正方形的判定定理．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．【教学重难点】教学重点特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．教学难点特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．【导学过程】【创设情景，引入新课】回顾正方形有哪些性质【自主探究】自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．解决问题：下面大家来猜一猜，想一想依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°，AA1＝AD1，A1B=BB1，3
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1是正方形．这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．【课堂探究】已知:如图,点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF=BG=CH=DE。求证：四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵AF=BG=CH=DE，∴AE＝DH＝CG＝BF．∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE．∴EF＝FG＝GH=HE，∠AEF=∠BFG．∵∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AFE+∠BFG=90°．∴∠EFG＝90°．∴四边形EFGH是正方形．接下来我们来做一做：在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度?可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决．解：∵△XAD是等边三角形，∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，XA=AD=XD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC．∴∠XAB=∠XDC＝150°，3
XA=AB，XD＝CD．∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．【当堂训练】如图1、图2、图3，已知直线EF⊥MN，且与正方形ABCD的对边或其延长线分别交于E、F、M、N．求证：EF＝MN，图3证明：只给出图2情况下的证明，图1、图3情况下的证明同理．过A作MN的平行线，交BC于点P，过B作EF的平行线，交CD于点Q．由平行四边形的性质，得AP＝MN，BQ＝EF．[∵MN//AP，EF//BQ，MN⊥EF，∴AP⊥BQ．∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°．∴∠QDC=∠BAP．又∵AB=BC，∴Rt△APB≌Rt△BFC．∴AP＝BQ，即MN＝EF．这是正方形的一个重要的性质定理．3
