小结与复习第9章多边形
要点梳理一、三角形的分类按边分按角分不等边三角形等腰三角形腰和底不等的等腰三角形等边三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形
注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.③三角形三条高所在直线交于一点．1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.二、三角形的高、中线、角平分线：
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．表示法：①AD是△ABC的边BC上的中线；②BD=DC=BC.
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.表示法：①AD是△ABC中∠BAC的平分线.②∠1=∠2=∠BAC.12
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．三、三角形内角和与外角和推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于和它不相邻的任何一个内角.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
注意：1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.3.三角形第三边的取值范围是:两边之差<第三边<两边之和三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边.四、三角形的三边关系
五、多边形的性质多边形的内角和定理：多边形的内角和等于（n-2)×180°多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°正多边形的性质：各边都相等，各内角也都相等正多边形每个内角的度数是正多边形每个外角的度数是
用相同正多边形可以铺满地面的条件：正多边形的每个内角都能被360o整除.用多种正多边形可以拼成平面的条件：围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为360º.
考点一三角形的角平分线、中线和高例1下列说法错误的是（）A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积B.直角三角形的高线只有一条C.三角形的三条角平分线都在三角形内D.钝角三角形内只有一条高线B【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断.考点讲练
三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或延长线)分别相交于一点，其中中线平分三角形面积，直角三角形由两条高线在边上，钝角三角形由两条三角形在三角形外面.方法总结针对训练1.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为（）ABCD12cmB.6cmC.3cmD.2cmB
2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O．（1）若∠A=80°，则∠BOC=．（2）你能猜想出∠BOC与∠A之间的数量关系吗？130°∠BOC=90°+∠AABCOED
考点二三角形的三边关系例2已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8-3<a<8+3,∴5<a<11.又∵第三边长为奇数,∴第三条边长为7cm或9cm.【分析】根据三角形的三边关系满足8-3<a<8+3解答即可.
三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.方法总结
3.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是()A．1，2，3B．2，5，8C．3，4，5D．4，5，104.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm,则它的周长为________.C针对训练19cm5.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是.6<x<12
考点三三角形内角和与外角和例3（2016春•淮安期中）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A=2∠B=3∠CB．∠A+∠B=2∠CC．∠A=∠B=30°D．∠A= ∠B= ∠C【分析】根据“三角形内角和定理和为180°”求出各选项中△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．D
三角形内角和定理：三角形内角和是180°．其推论为直角三角形两锐角互补及有两个角的和为90°的三角形是直角三角形．已知三角形中的三角形之间关系，可运用方程思想来求各角的度数.方法总结针对训练6.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数为_____.30°
解：设∠B=x°，则∠A=3x°，∠C=4x°，从而x+3x+4x=180º，解得x=22.5°．即∠B=22.5°，∠A=67.5°，∠C=90°．7.△ABC中，∠B=∠A=∠C，求△ABC的三个内角度数.
考点四多边形的内角和与外角和例4已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.【解】设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.
8.一个正多边形的每一个内角都等于120°，则其边数是.6【解析】因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60°.所以边数是6.归纳拓展在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.针对训练
考点五本章中的思想方法方程思想例5如图，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE是等边三角形，求∠C的度数.ABCED【解】设∠C=x°,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75°.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.归纳拓展
9.如图，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.ABCD))))2413解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x.因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°.针对训练
分类讨论思想例6已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是．【解析】由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22
针对训练10.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是．24【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
例7如图所示：求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.【解析】所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连结CD便转化为求五边形的内角和问题，由“8字型”模型图可知，∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2）×180°=540°.ABCFGDE
三角形与三角形有关的线段三角形内角和：180°三角形外角和：360°三角形的边：三边关系定理高线中线：把三角形面积平分角平分线与三角形有关的角内角与外角关系三角形的分类多边形定义多边形的内外角和内角和：（n-2)×180°外角和：360°对角线多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线正多边形内角=;外角=课堂小结
