6．2 方 差 1．理解方差的概念，会求一组数据的方差；(重点)2．理解方差的统计意义和在具体问题中的实际意义．(难点)一、情境导入甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下：甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180.为了达到最佳效果，希望选取一支身高比较整齐的仪仗队参加某项庆祝活动，经计算，两支仪仗队队员的平均身高为178厘米，那么选取哪支仪仗队呢？二、合作探究探究点一：方差【类型一】求一组数据的方差已知一组数据：1，3，5，5，6，求这组数据的方差．解析：先计算出这组数据的平均数，再利用方差计算公式进行计算即可．解：x＝(1＋3＋5＋5＋6)＝×20＝4，s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2×2＋(6－4)2]＝×(9＋1＋2＋4)＝3.2.方法总结：计算一组已知数据的方差，应先求出这组数据的平均数，再利用方差公式s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]进行计算．在计算方差时，要先计算平均数，因此，记忆方差的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均．这12个字是对方差计算公式的最好注释．【类型二】利用方差的意义求方差如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是( )A．3B．8C．9D．14解析：方差反映一组数据的波动大小，显然数据x1，x2，…，xn与数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的波动大小相同，因此它们的方差相等，所以数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是3，故选A.方法总结：方差反映一组数据的波动大小，一组数据同时加上(或减去)同一个数，方差不变．但是如果把一组数据同时乘(或除)同一个绝对值不等于1的数，方差会发生改变．
探究点二：方差的意义甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是s＝0.65，s＝0.55，s＝0.50，s＝0.45，则射箭成绩最稳定的是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：甲、乙、丙、丁四人中丁的方差最小，所以射箭成绩最稳定的是丁．故选D.方法总结：本题考查了方差的意义，在平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定．探究点三：利用方差进行决策【类型一】比较品种的整齐为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示(单位：厘米)：编号12345甲1213151510乙1314161210 通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．解析：求出甲、乙的平均数、方差，根据平均数、方差的意义，进行比较可得出结论．解：x甲＝(12＋13＋15＋15＋10)÷5＝13，x乙＝(13＋14＋16＋12＋10)÷5＝13，s＝[(12－13)2＋(13－13)2＋(15－13)2＋(15－13)2＋(10－13)2]＝3.6，s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2＋(12－13)2＋(10－13)2]＝4.∵s＜s，∴甲种水稻出苗更整齐．方法总结：要比较两个品种谁更整齐，首先应比较它们的平均水平，如果平均水平相同，再看方差，方差越小越整齐．【类型二】质量稳定评估为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下(单位：秒)，你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由.12345678910甲种手表)－342－1－2－21－221乙种手表)－41－2141－2－1－2－2解析：根据题意，要比较两种手表中哪种走时稳定性好，需要计算两种手表走时误差的方差，所以先需求出甲、乙两种手表日走时误差的平均数，按平均数的求法求解即可，然后计算方差．解：甲种手表走时稳定性好，理由如下：x甲＝(|－3|＋4＋2＋|－1|＋|－2|＋|－2|＋1＋|－2|＋2＋1)＝2，x乙＝(|－4|＋1＋|－2|＋1＋4＋1＋|－2|＋|－1|＋|－2|＋|－2|)＝2，s＝[(2－3)2＋(2－4)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(2－1)2]＝0.8，s＝[(2－4)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－4)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2]＝1.2.∵s＜s，∴甲种手表走时稳定性好．方法总结：要比较甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好，需比较它们的方差，方差越小越稳定．
【类型三】确定比赛人选为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击5次，命中的环数如下(单位：环)：命中环数78910甲命中相应环数的次数2201乙命中相应环数的次数1310为确保比赛时的水平能比较稳定地发挥，应选谁参加比赛？解析：要选取能稳定发挥的同学参加比赛，应选取方差比较小的同学，所以应先计算方差．解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为x甲＝(7×2＋8×2＋10×1)＝8，x乙＝(7×1＋8×3＋9×1)＝8，s＝[2×(7－8)2＋2×(8－8)2＋(10－8)2]＝1.2，s＝[(7－8)2＋3×(8－8)2＋(9－8)2]＝0.4.∵s＞s，∴乙同学的射击成绩比较稳定，应选乙参加比赛．方法总结：确定比赛人选时，要看制定的目标，如果为了确保比赛时的水平能稳定地发挥，则应比较方差的大小；如果为了冲击水平较高的金牌，一般可选取训练时单次水平最高的人参加．三、板书设计1．方差：一组数据中各数据与平均数之差的平方的平均值，叫做这组数据的方差．2．方差的计算：设一组数据为x1，x2，x3，…，xn，平均数为x，则这组数据的方差为s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]3．方差的意义：一组数据的方差越小，说明这组数据离散或波动的程度就越小，这组数据也就越稳定．4．求方差的一般步骤：先求平均数，再求每个数与平均数的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值．在教学过程中，通过情境引入，引导学生观察、思考，经历数学概念(方差)的生成过程．通过实例说明如何求一组数据的方差，引导学生得出求方差的一般步骤：先求平均数，再求每个数与平均数的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值．通过实际问题利用方差进行决策，既强化学生掌握方差的计算方法，又让学生进一步理解方差的实际意义，这样突出重点，突破难点。
