专题4初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1.去绝对值符号法则2.绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数，表示数轴上数、数的两点间的距离.3.绝对值常用的性质①②③④⑤⑥例题与求解【例1】已知，且，那么.（祖冲之杯邀请赛试题）解题思路：由已知求出、的值，但要注意条件的制约，这是解本题的关键.【例2】已知、、均为整数，且满足，则（）A.1B.2C.3D.4（全国初中数学联赛试题）解题思路：≥0，≥0，又根据题中条件可推出，中一个为0，一个为1.【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代数式…－的值.解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出…，的值，注意的化简规律.【例4】设、、是非零有理数，求的值.解题思路：根据、、的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.（希望杯邀请赛试题）【例5】设是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.记，求S的最小值.（四川省竞赛试题）解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯竞赛试题）解题思路：由知，即，代入原式中，得，再对的取值，分情况进行讨论.A级1.若为有理数，那么，下列判断中：（1）若，则一定有；（2）若，则一定有；（3）若，则一定有；（4）若，则一定有；正确的是.（填序号）2.若有理数满足，则.3.若有理数在数轴上的对应的位置如下图所示，则化简后的结果是.4.已知正整数满足，，且，则的值是.（四川省竞赛试题）5.已知且，那么.6.如图，有理数在数轴上的位置如图所示：则在中，负数共有（）A．3个B．1个C．4个D．2个（湖北省荆州市竞赛试题）7.若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－138.若是有理数，则一定是（）A．零B．非负数C．正数D．负数9.如果，那么的取值范围是（）A．B．C．D．10.是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（）A．只有（1）正确B．只有（2）正确C．（1）（2）都正确D．（1）（2）都不正确（江苏省竞赛试题）11.已知是非零有理数，且，求的值.12.已知是有理数，，且，求的值.（希望杯邀请赛试题）B级1.若，则代数式的值为.2.已知，那么的值为.3.数在数轴上的位置如图所示，且，则.（重庆市竞赛试题）4.若，则的值等于（五城市联赛试题）5.已知，则.（希望杯邀请赛试题）6.如果，那么代数式在≤≤15的最小值（）A.30B.0C.15D.一个与有关的代数式7.设k是自然数，且，则等于（）A.3B.2C.D.（创新杯邀请赛试题）8.已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．9（希望杯邀请赛试题）9.已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（）A．唯一确定的值B．3种不同的值C．4种不同的值D．8种不同的值10.满足成立的条件是（）A．B．C．D．（湖北省黄冈市竞赛试题）11.有理数均不为0，且，设，试求代数式的值.（希望杯邀请赛训练题）专题04 初识非负数例1 －2或－8例2 B 提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一个为0，一个为1，不妨设｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，则a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．例3 6 提示：由题意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．例4 －1或7 提示：分下列四种情形讨论：（1）若a，b，c均为正数，则ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；（2）若a，b，c中恰有两个正数，不失一般性，可设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，则原式＝－1；（3）若a，b，c中只有一个正数，不失一般性，可设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，则原式＝－1；（4）若a，b，c均为负数，则ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．例5 根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少?”为避免重复，从左到右走到6，再从右到左走到1为最短路线，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，则S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）． 例6 根据｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4．对3a－1的取值分情况讨论为：（1）当3a－1＞0，即a＞时，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（2）当3a－1＜0，即a＜时，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，则（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（3）当3a－1＝0，即时，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．综上可知a＝，b＝－，ab＝－．A级1．（4） 2．－3．1－2c＋b 提示：－1<c<0<a<b>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c＋b．4．2 提示：原式变形为｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a<b≤2．又∵a，b为正整数，故a＝1，b＝2．5．4 6="">0．故｜b｜ ＝k｜a｜，代人原式中，原式＝．当a＞0时，原式＝；当a＜0时，原式＝．故原式＝3．8．B 提示：分0≤a≤2，2</b≤2．又∵a，b为正整数，故a＝1，b＝2．5．4></c<0<a<b>
