专题16不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1.解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2.解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是（）A、B、C、D、(2013年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.【例2】如果关于的不等式那么关于的不等式的解集为.（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.【例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值.（天津市竞赛试题）解题思路：解关于，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.【例6】设是自然数，，，，求的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a，b满足且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形.解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b能力训练A级1、已知关于x的不等式那么m的值是（“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组的解集是，那么a＋b的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围是（河南省中考试题）5、关于x的不等式的解集为，则a应满足（）A、a＞1B、a＜1C、D、(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式的x的取值的范围是（）7、已知不等式的解集那么m等于（）A、B、C、3D、－35、已知，下面给出4个结论：①；②；③④，其中，一定成立的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个（江苏省竞赛试题）9、当k为何整数值时，方程组有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果是关于x，y的方程的解，求不等式组的解集11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B级1、如果关于x的不等式的正整数解为1，2，3那么的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组有解，则的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为.（”希望杯“邀请赛试题）4、已知则的取值范围为.(“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a，b，c满足不等式组，则a，b，c的大小关系是（）A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（）个整数x适合不等式A、10000B、20000C、9999D、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（）A、70B、72C、77D、848、不等式的解集为（）A、B、C、D、（山东省竞赛试题）9、的最大值和最小值.（北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立.9、已知正整数a，b，c满足a＜b＜c，且，试求a，b，c的值.专题16不等式（组）例1C提示：解不等式组得，则5个整数解为x＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤.例2提示：，，，，.例3或提示：解方程组得，由得－1≤m≤0例4提示：由已知条件得,解得,m=3c－2.由得,解得,故m的最大值为,最小值为例5先用x1和x2表示x3,x4，…，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010.于是得.因为x2是自然数,所以是整数，所以x1是10的奇数倍.又因为x1＜x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2+x3的最大值为2(x1+x2)=2×118=236.例6解法一：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4②，由②知－4≤－a－b≤－1③，①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0.∴a=1且b=0，此时8a+2003b=8.解法二：设a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+(m－n)b,知,解得.而,,∴a－2b=+∴－2≤a－2b≤1当a—2b最大时，a+b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此时8a+2003b=8.A级1.2.11.1提示:原不等式组变形为由解集是0＜x＜2知,解得故a+b=2+(－1)=13.a＜－b＜b＜－a4.＜m＜75.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集为x＜－3知x+3＜0,所以a－1＜0,得a＜1.6.C7.B8.C9.k=2或3.10.提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x＜－3.11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知,得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对.B级1.提示:由题意可知:.由正整数解为1,2,3知,解得2.a≥－1提示:原不等式组变形为由不等式组有解知－a≤1,故a≥－13.9≤a＜124.5.B提示:原不等式组变形为,,.6.C示：若x≥2000，则(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999,共有4000个整数;若0≤x＜2000,则(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合若x＜0，则2000－x+(－x)≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999个整数适合，故一共有4000+2000+3999=9999个整数适合.7.D8.C提示:由原不等式得x2＞(x+5)29.提示：解不等式，得,原式=,从而知最大值为4，最小值为10.提示：s=x+2，2≤s≤311.提示:由,得，即.又n与k是都是正整数，显然n＞8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数.当n=15时,,即此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.12.由得，故，即，又因为，故a=2，从而有，又，则，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.
