专题20正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，．（1）探究线段，的关系，并加以证明．（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段，的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，\n于，求证：.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造的线段是解本例的关键．【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，分别与对角线交于点．求证：（1）；（2）．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．【例6】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交\n，（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造是解题的关键．图1图2图3能力训练A级1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________.（北京市竞赛试题）2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：①；②；③；④．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.\n（青岛市中考试题）第1题图第3题图第4题图4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.（河南省中考试题）5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.B．C.D.（晋江市中考试题）第5题图第6题图6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为()A.12B．8C.D.（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形中，，那么是()A.B．C.D.8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()A．15B．12C．11D．10\n9．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且．求证：平分．11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．求证：．（扬州市中考试题）12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．\n（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1图2B级1.如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则__________.（北京市竞赛试题）3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；\n③；④为定值，其中一定成立的是()A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是()A.3B．4C.5D.不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.B．C.8D.E.（美国高中考试题）7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于()A.1B．2C.3D.（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）`9.已知求证：．\n10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．（武汉市竞赛试题）专题 20 正方形例1 ①④⑤ 提示：在AD上取AH＝AE，连EH，则∠AHE＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝22.5°，则HE＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正确．又，故③不正确．\n例2 提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF得FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90°，故MD⊥MF且MD＝MF．(2)延长DM到N点，使DM＝MN，连FD，FN，先证明△ADM≌△ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，则AD∥EN．延长EN，DC交于S点，则∠ADC＝∠CSN＝90°．在四边形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝180°，又∵∠FCS＋∠FCD＝180°，故∠FEN＝∠FCD，再证△CDF≌△ENF．∴(1)中结论仍成立．例3 提示：延长BC至点H，使得CH＝AE，连结DE，DF，由Rt△DAE≌Rt△DCH得，DE＝DH，进而推证△DEF≌△DFH，Rt△DGE≌Rt△DCH．例4 设AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y，则由①得a－x＝y－b，平方得a2－2ax＋x2＝y2－2by＋b2．将②代入得a2－2ax＋x2＝y2－4ax＋b2，∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝．∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．延长CB至M，使BM＝DH，连结AM，由Rt△ABM≌Rt△ADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90°．再证△AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．即∠HAF＝∠MAH＝45°．例5 (1)如图，延长CD至点E1，使DE1＝BE，连结AE1，则△ADE1≌△ABE．从而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90°．在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，则△AEF≌△AE1F．故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．(2)如图，在AE1上取一点M1，使得AM1＝AM，连结M1D，M1N．则△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．∵∠NDM1＝90°，从而M1N2＝M1D2＋ND2，∴MN2＝BM2＋DN2．例6 (1)BM＋DN＝MN成立．如图a，把△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，E、B、M三点共线，则△DAN≌△BAE，∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．(2)DN－BM＝MN．如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，FM可进一步证明：①△CMN的周长等于正方形边长的2倍；②EF2＝BE2＋DF2；③△AEN，△AFM都为等腰直角三角形；④．\nA 级1．75°2．②3．4．35．C6．B7．B8．B9．提示：△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，证明∠ABE＋∠BAF＝90°．10．提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FG＝FC．11．提示：连PC，则PC＝EF．12．(1)延长DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝DN，FD＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF，(1)中结论仍成立．B级1.22.60°°提示：MA2＋MC2＝MD2＋MB23.54.D5.C6.B7.B8.提示:⑴在AD上截取AF＝AM，∠DFM＝∠MBN，由△DFM≌△MBN，故DM＝MN.⑵证法同上，结论仍成立.⑶在AD延长线取一点E，使DE＝BM，可证明△DEM≌△MBN，故DM＝MN.9.提示：构造边长为1的正方形ABCD，P为正方形ABCD内一点，过P作FH∥AB交AD于F，交BC于H,作EG∥AD交AB于E，交CD于G.设AE＝a,则BE＝1－a.设AF＝b，则DF＝1－b.∴PA＝,同理：PB＝,PC＝，PD＝.又∵PA＋PB＋PC＋PD≥2AC＝2，∴命题得证.10.提示：MN＝BM＋DN，延长CD至M',使M'D＝BM，证明△ADM'≌△ABM，△AM'N≌△AMN，则∠MAN＝∠M'AN＝∠M’AM＝45°.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP，△MPC≌△BAC≌△BRN，则RB＝MP，又△RNM≌△PCB，则RM＝BP，从而四边形RBPM是平行四边形，故BP∥RM.
