专题22与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.若DE=CE，AC=8，点D为EF的中点，则AB=.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图例2题图【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（）A．1B．C．D．（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE2=BD·BC，欲求BD，应先求BE.须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.\n【例3】如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E.已知AE∶EB=4∶1，CD=2，求BC的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，==.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.【例5】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点.延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙O于F，AF交CE于P.求证：PE=PC.（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC为⊙O切线，则PC2=PF·PA，只需证明PE2=PF·PA.证△PEF∽△PAE，作出常用辅助线，突破相关角.\n【例6】如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线.过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，与ST交于点C.求证：=（+）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A级1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为.（青岛市中考试题）2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=2，则CD=.（四川省竞赛试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P.若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP=.（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长为.（成都市中考试题）5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（）A．2B．C．2D．2（辽宁省中考试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）\n6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（）A．16πB．36πC．52πD．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）A．3B．3C．6D．68．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2，则弦心距OF为（）A．1B．C．D．（包头市中考试题）（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=6，AE=6，求DE的长.（南京市中考试题）10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.（天津市中考试题）11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.（全国初中数学联赛试题）（第11题图）（第12题图）\n12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A.连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延长交边AC于点F.（1）求证：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.（太原市竞赛试题）B级1．如图，两个同心圆，点A在大圆上，AXY为小圆的割线，若AX·AY=8，则圆环的面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=α，∠ACB=β.连结AB、AC，则的值等于（）A．B．C．2D．4（黑龙江省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为（）A．B．C．D．（南京市中考试题）4．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2CD的长（武汉市中考试题）（第4题图）（第5题图）（第6题图）\n5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=，PC=10cm，求△BCD的面积.（北京市海淀区中考试题）6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是的中点.（济南市中考试题）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）（第7题图）（第8题图）8．如图，P为⊙O外一点，PA与⊙O切于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，求证：=.（四川省竞赛试题）\n9．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和y=.D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q．（1）求证：点Q为△COP的外心；（2）求正方形OABC的边长；（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．（河北省中考试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10．如图，已知BC是半圆O的直径，D是的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.（1）求证：AC·BC=2BD·CD；（2）若AE=3，CD=2，求弦AB和直径BC的长.（天津市竞赛试题）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）\n专题22与圆相关的比例线段例1设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE==8，又BE===16，故AB=AE+BE=24.例2C例31提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由，，，得4=y(y+5x)，.例4（1）联结OB，OP，可证明△BDC∽△PAE，有.又∵OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD，则CE⊥OC，知CE为☉O的切线，故,有,即PE=PC.例6解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得.又由切割线定理和相交弦定理，有，∴，即.解法二：如图2，联结PO交ST于D，则PO⊥ST.联结SO，作OE⊥PB于E，则E为AB的中点，于是.∵C，E，O，D四点共圆，∴.∵Rt△SPD∽Rt△OPS，∴，∴，即.A级1.2.提示：△BDE≌△CFE，DE=EF，OF=FE=ED，设OF=x，则OA=OD=3x，AE=5x，由，得，∴.3.4cm4.45.D6.B7.A8.C9.(1)略(2)，△AED∽△ABE，=.设DE=，BE=2x，而，解得x=.∴\nDE=.10.（1）略（2）.可得PB=BD=PD，∴PB=PD=DC，∴又∵BDCD=ADDE，∴.11.作DE⊥AC于E，则AC=AE，AG=DE.由切割线定理得，故,即.∵AB=5DE，∴,于是.又∠BAF=∠AED=90°，∴△BAF∽△AED，于是又∠ABF=∠EAD.∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD⊥BE.12.⑴如图，连接AD，AE.∵∠DAC=∠DAE，∴△ADC∽△EAC.⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA，∴tan∠CDF=tan∠DEA=.由⑴知，故tan∠CDF=.由圆的切割线定理知，而EC=ED+DC，则.又AC=nAB，ED=AB，代入上式得，即，故.显然，上式只能取加号，于是.B级1.B2.B3.C4.A5.提示：.设AD=x，则CD=2x，DB=4x，AB=5x，由△PAC∽△PCB得，，∴PA=5，又，即，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴.6.⑴略.⑵连接FB，证明PF=PE，∠BFA=∠AFC.7.⑴能.连接BC，作∠ACE=∠B，CE交AB于E.⑵PB与⊙O相切.⑶C是PE的中点.8.连接OA、OB、OC，则，于是，B、C、O、D四点共圆，有△PCD∽△POB，则\n①，又由POC∽△PBD得②，由①②得.9.⑴略⑵A（4,3），OA=5.⑶P（3，）.10.⑴延长BA，CD交于点G，由Rt△CAG∽Rt△BDC，得，即，又，故.⑵由Rt△CDE∽Rt△CAG，得，即，解得CE=5，从而AG=，，即，解得AB=6，.11.延长AD交⊙O于E，连接PE、BE、CE，∵PA为⊙O的切线，PO⊥AE，∴PE=PA，，易证△PAB∽△PCA，△PEB∽△PCE，∴，则，即，由托勒密定理得.∴，即，有∵∠BAE=∠BCE，∠CAD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，△CAD∽△CBE，则△ABD∽△CAD，∴，故.\n
