专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（ ）A．3︰2︰1B．4︰2︰1C．5︰4︰3D．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．\n【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝PR•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝PR•PS，需证＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）图2图1解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明＋＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．\n【例5】如图，已知AB∥CD，AD∥CE，F，G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB，AD，CD，CE于点M，N，P，Q．求证：MN＋PQ＝2PN．解题思路：考虑延长BA，EC构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且＝，＝，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）图1图2图3解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．\n能力训练A级1．设K＝＝＝，则K＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．第2题第3题第4题第5题3．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，则BD︰DN＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD是正方形，E，F是AB，BC的中点，连结EC交DB，交DF于G，H，则EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC的边BC，CA上分别有点E，F，且满足BE＝CF＝，EC＝FA＝（＞），当BF平分AE时，则的值为（ ）A．B．C．D．6．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF︰FD＝1︰5，连结CF并延长交AB于E，则AE︰EB等于（ ）A．1︰10B．1︰9C．1︰8D．1︰7第6题第7题第8题7．如图，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于（ ）A．4B．8C．12D．168．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝BC，则BE︰EA等于（ ）A．3︰5B．2︰5C．2︰3D．3︰2\n9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）第9题第10题第11题10．如图，已知在□ABCD中，E为AB边的中点，AF＝FD，FE与AC相交于G．求证：AG＝AC．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．（1）求证：OE＝OF；（2）求＋的值；（3）求证：＋＝．（宿迁市中考试题）\n12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．求证：∠AFN＝∠DME．（全国初中数学联赛试题）B级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．（全国初中数学联赛试题）第2题第3题第1题2．如图，□ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD，BC的延长线分别交于F，E点．设BC＝，CD＝，CF＝，则CE＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D，F分别是△ABC边AB，AC上的点，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，连结DF交BC边的延长线于点E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF＝10，FB＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN∥ED，则EF︰FD＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）\n第5题第4题第6题5．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（ ）A．10B．12C．16D．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直线EF分别交AB，AC于点M，N．若BC＝，AC＝，AB＝，且＞＞，则EM的长为（ ）A．B．C．D．（山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD的边AD延长线上取一点F，BF分别交AC与CD于E，G．若EF＝32，GF＝24，则BE等于（ ）A．4B．8C．10D．12E．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF︰FD的值是（ ）A．2B．C．D．1（黄冈市竞赛试题）第7题第8题第9题9．如图，P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点，直线AP，BP分别交直线CD于E，F．求证：＝．（宁波市竞赛试题）\n10．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O，直线平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别交于点M，N，R，S和P．求证：PM·PN＝PR·PS．（山东省竞赛试题）第11题第10题11．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我们可以证明：＝成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB∥CD∥EF，那么，（1）＝还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）\n12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：＝；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且＝，则＝＿＿＿＿（直接写出结果）图1图2图3专题14平行线分线段成比例\n例1提示：由,推得PQ∥AD。例2D例3提示：例4（1）略（2）结论仍然成立提示：.例5延长BA，EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，不妨设QP=a，MN=b，PG=x,GN=y.∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且.∵AB∥CD，∴，即，，∵AD∥CE，∴，即，，由①②可得，即例6（1）∵点M，P，N分别是AB，BC，CA的中点，∴线段MP，PN是△ABC的中位线，∴MP∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN是平行四边形，∴∠MPN=∠A。（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正确.如图所示，连接MN，∵，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，，∴MN∥BC，，又∵点P1,P2是边BC的三等分点，∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，∴四边形MBP1N，MP1P2N,MP2CN都是平行四边形，∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC,∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A。（3）∠A.A级1.-2或12.173.7：14.5：4：65.C6.A7.C8.C9.略10.提示：延长FE交CB的延长线于H，易证△AEF≌△BEH，.11.（1）略（2）1（3）提示：,EF=2OE。12.延长BF和CM交于点P，延长ME和BC交于点Q。∵ME∥BA，∴，∴,∵AD∥BC，∴，∴，得FN∥PM，故∠AFN=∠P=∠DME.\nB级1．2．提示：延长FO交AB于G，则△OAG≌△OCF，。3．2：1提示：过D作DG∥BC交于CA于G，则AG:GC=2:3，CF:AF=2:3。4．5：2提示：，，。5．C6．B7．E提示：。8．C提示：延长BF，CD交于点G。9．提示：，，。10．提示：。11．（1）等式还成立。（2）。提示：作BG⊥AD于G，作DH⊥BC于H，则，又，即，∴，。同理，。12．（1），（2）作DK∥AQ交AC于点K，，∴\n（3）
