第二节三角形及其性质玩转重庆8年中考真题(2022～2022年)命题点1 三角形的基本性质（近8年未单独考查，一般是在平行线性质求角度中涉及考查）命题点2 三角形中的重要线段（近8年未单独考查）命题点3 等腰三角形的判定及性质（高频）命题点4直角三角形的判定及性质（高频）1.（2022重庆10题4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤第1题图第2题图2.(2022重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）3.（2022重庆A卷25题12分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点.DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF.（1）如图①，若点H是AC的中点，AC＝，求AB，BD的长；（2）如图①，求证：HF＝EF；（3）如图②，连接CF，CE.猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由.第3题图5\n【拓展猜押】已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,点G、F分别是DC、BE的中点.(1)如图①，若∠DAB=60°，则∠AFG=;如图②，若∠DAB=90°，则∠AFG=;(2)如图③,若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明;(3)如果∠ACB为锐角，AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边，以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC.试探究:若NC⊥BC(点C、M重合除外)，则∠ACB等于多少度？拓展猜押题图【答案】命题点4直角三角形的判定及性质1.B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形.作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△AFD全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形.可证①正确，②错误.再由割补法可知④是正确的.判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形，DE=DF，当DF与AC垂直，即DF最小时，DE取最小值45\n，故③错误.△CDE最大的面积等于四边形CDFE的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的.2.解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=180°-90°-60°=30°，∴BC=2AB=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===2，∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2.答：△ABC的周长是6+2.3.（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AC=2，∴AB=2AC=4.(1分)∵点H是AC中点，∴AH=AC=.(2分)∵AD⊥AB∴∠DAH=90°-60°=30°.∵DH⊥AC，∴在Rt△ADH中，cos30°=，∴AD===2,(3分)∴BD==2.(4分)（2）证明：连接AF,如解图①.在Rt△ABD中，F为BD中点，∴DF=AF，∴∠FDA=∠FAD.∵∠BAC=60°，AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=30°，由（1）知∠DAH=30°，第3题解图①∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=30°＋30°=60°.(5分)∵DH⊥AC，∴∠ADH=60°=∠DAE，又∵AD=AD，∠AHD=∠DEA，∴△AHD≌△DEA(AAS)，∴DH=AE.(6分)5\n∵∠FDA=∠FAD，∠ADH=∠DAE，∴∠FDH=∠FAE，(7分)∴△FDH≌△FAE(SAS)，∴HF=EF.(3)解：△CEF是等边三角形.(9分)证明：取AB的中点M，连接FM、CM，如解图②,∵F为BD的中点，M为AB的中点，∴FM∥AD且FM=AD.由(2)知，∠CAE=30°，且在Rt△ADE中，AE=AD，第3题解图②∴AE=MF.在Rt△ABC中，M为AB中点，∴AM=CM.∵∠MAC=60°，∴△ACM为等边三角形，(8分)∴AC=CM，∠AMC=∠ACM=60°.∵∠AMF=90°，∴∠CMF=90°-60°=30°=∠CAE,∴△CAE≌△CMF（SAS），(11分)∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，∴∠ECF=∠ECM＋∠MCF=∠ECM＋∠ACE=60°，∴△CEF为等边三角形.(12分)【拓展猜押】解：（1）60°;45°.（2）∠AFG＝90°-.证明：∵∠DAB=∠CAE,∴∠DAC=∠BAE.又AD=AB,AC=AE,∴△DAC≌△BAE（SAS）,拓展猜押题解图①∴DC=BE,∠ADC=∠ABE.连接AG，如解图①，点G、F分别是DC、BE的中点，∴DG=BF,∵AD=AB，∴△DAG≌△BAF（SAS），∴∠DAG=∠BAF，AG=AF，∴∠GAF=∠DAB=α,∠AFG=∠AGF，∴∠AFG=90°-.（3）如解图②，延长CN至点H，使NH=MC，连接AH.∵NC⊥BC,∠MAN=90°,∴∠AMC+∠ANC=180°，5\n∵∠ANH+∠ANC=180°,∴∠AMC=∠ANH，在△AMC与△ANH中，拓展猜押题解图②,∴△AMC≌△ANH(SAS),∴AC=AH,∠MAC=∠NAH，∴∠HAC=∠MAN=90°，∴∠ACH=45°,∴∠ACB=45°.5
