第八章统计与概率第二节 概 率命题点1 事件的分类（近8年未考查）命题点2简单概率的计算（仅考查1次）1.(2022重庆9题4分)今年5月12日，四川汶川发生强烈地震后，我市立即抽调骨干医生组成医疗队赶赴灾区进行抗震救灾.某医院要从包括张医生在内的4名外科骨干医生中，随机地抽调2名医生参加抗震救灾医疗队，那么抽调到张医生的概率是()A.B.C.D.命题点3与代数、几何知识结合的概率计算（高频）1.（2022重庆A卷17题4分）从-3，-2，-1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的值既是不等式组的解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率是.2.（2022重庆B卷17题4分）从-2,-1,0,1,2这5个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组有解，且使关于x的一元一次方程的解为负数的概率为.3.（2022重庆A卷17题4分）从-1、1、2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为.4.(2022重庆A卷17题4分)从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为.5.（2022重庆15题4分）有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为.6.（2022重庆15题4分）在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=-x2+2x+5与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是.二、与几何结合7.（2022重庆15题4分）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米.如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是.8.(2022重庆B卷17题4分)在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是13\nO(0,0),B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x,y均为整数)，则所作△OAB为直角三角形的概率是.9.（2022重庆15题4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3与两坐标轴围成一个△AOB.现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为.【变式改编1】（2022年重庆A卷17题）从-1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组无解的概率为.【拓展猜押】从-2、-1、-、0、1这五个数字中，随机抽取一个数，记为a，则使得关于x的分式方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组有三个整数解的概率是.命题点4统计与概率结合（高频）1.(2022重庆B卷22题10分)某校七年级（1)班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）.根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动，班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：第1题图（1）七年级（1)班学生总人数为人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为度，请补全条形统计图;（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画.班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率.13\n2.（2022重庆B卷22题10分）重庆市某餐饮文化公司准备承办“重庆火锅美食文化节”.为了解市民对火锅的喜爱程度，该公司设计了一个调查问卷，将喜爱程度分为A（非常喜欢）、B（喜欢）、C（不太喜欢）、D（很不喜欢）四种类型，并派业务员进行市场调查.其中一个业务员小丽在解放碑步行街对市民进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图所给信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中C所占的百分比是；小丽本次抽样调查的人数共有人；请将折线统计图补充完整；（温馨提示：补全折线统计图2022版新课标已删）（2）为了解少数市民很不喜欢吃火锅的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不喜欢”吃火锅的市民里随机选出两位进行电话回访，请你用列表法或画树状图的方法求所选出的两位市民恰好都是男性的概率.第2题图3.（2022重庆A卷22题10分）减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措.某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时以内”、“2小时～3小时”、“3小时～4小时”和“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中所给出的信息解答下列问题：（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人去参加学校的知识抢答赛.用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同小组的概率.13\n第3题图4.（2022重庆B卷22题10分）为了贯彻落实国家关于增强青少年体质的计划，重庆市全面实施了义务教育学段中小学学生“饮用奶计划”的营养工程.某牛奶供应商拟提供A(原味)、B（草莓味）、C（核桃味）、D（菠萝味）、E（香橙味）等五种口味的学生奶供学生选择（所有学生奶盒形状、大小相同），为了了解学生奶口味的喜好情况，某初级中学九年级（1）班张老师对全班同学进行了调查统计，制成了如下两幅不完整的统计图：第4题图（1）该班五种口味的学生奶喜好人数组成一组统计数据，直接写出这组数据的平均数，并将折线统计图补充完整；（温馨提示：补全折线统计图2022版新课标已删）（2）在进行调查统计的第二天，张老师为班上每位同学发放一盒学生奶.喜好B味的小明和喜好C味的小刚等四位同学最后领取.剩余的学生奶放在同一纸箱里，分别有B味2盒，C味和D味各1盒，张老师从该纸箱里随机取出两盒学生奶.请你用列表法或画树状图的方法，求出这两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率.13\n【变式改编2】（2022年重庆B卷22题）近日，我校学生在课间操时跳起《小苹果》的视频席卷网络，成为网上热门话题.为了了解大家对这一事件的看法，我校一个课外活动小组在网上随机调查了部分网友，并将调查的结果分为“非常赞同”、“赞同”、“不太赞同”、“不赞同”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：变式改编2题图（1）本次调查的网友总数为人；（2）在扇形统计图中，D所对应扇形的圆心角是度，并将条形统计图补充完整；（3）在“非常赞同”和“不赞同”的网友中各有两人愿意接受进一步采访，现打算从中随机选出两位进行采访，请你用列表法或画树状图的方法，求出所选的两位网友中恰好一位非常赞同另一位不赞同的概率？命题点5涉及游戏公平性的概率计算(仅考查1次)1.(2022重庆23题10分)有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）.小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.13\n第1题图【答案】命题点2简单概率的计算1.A【解析】列表如下：——ABC张A——（B，A）（C，A）(张，A）B（A，B）——（C，B）（张，B）C（A，C）（B，C）——（张，C）D（A，张）（B，张）（C，张）——∴共有12种等可能的结果，其中抽到张医生的有6种，则P（抽调到张医生）==.命题点3与代数、几何知识结合的概率计算一、与代数结合1.【解析】解不等式2x＋3＜4，得x＜，解不等式3x-1＞-11，得x＞-,∴不等式组的解集为-＜x＜，∴x=-3，-2，-1，0.在函数y=中，自变量的取值范围满足2x2＋2x≠0，∴2x(x＋1)≠0，即x≠0且x＋1≠0，∴x≠0且x≠-1,∴x13\n=-3，-2,∴-3,-2,-1,0,4这5个数中随机抽取一个数是-3或-2的概率为，即满足条件的概率为.2.【解析】解不等式≥-，得x≥-1，解不等式2x-1＜2a，得x＜.∵不等式组有解，∴-1＜，解得a＞-.解方程+1=，得x=.∵方程的解为负数，∴＜0，解得a＜.∴-＜a＜，∴a=-1，0，1.∴满足条件的概率为.3.【解析】对于函数y=2x＋a，令y=0，解得x=-，令x=0，则y=a，又∵此直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为，则有||·|a|·=，即＝，解得：a=±1；又∵解不等式组中x+2≤a得，x≤a-2，解1-x≤2a,得x≥1-2a，则此不等式组的解集为：1-2a≤x≤a-2，当a=1时，-1≤x≤-1，此时不等式组的解为x=-1；当a=-1时，3≤x≤-3，此时不等式组无解；综上所述不等式组有解时，需a=1，则从-1、1、2这三个数中，随机抽取一个数是1的概率为，即满足要求的概率为.4.【解析】从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，共有5种取法，函数y=(5-m2)x的图象过一、三象限，所以5-m2＞0，即m2＜5，故m的取值范围为-<m<.所以m=0,-1,-2；当m=0时，方程(m+1)x2+mx+1=0为x2+1=0无实数根，当m=-1时，方程(m+1)x2+mx+1=0为-x+1=0有实数根，当m=-2时方程(m+1)x2+mx+1=0为-x2-2x+1=0有实数根，所以恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的m的值为-1,-2，所以概率为.5.【解析】由=得，1-ax+2(x-2)=-1,得x=.因为方程有正整数解，所以2-a=1或2，解得a=1或0.当a=1时，x=2，分式方程无意义，故使方程有正整数解的概率为.6.【解析】由题意，点P有五个可能：（-2，4），（-1，1），（0，0），（1，1），（2，4），由于y=-x2+2x＋5=-（x-1）2＋6，则顶点为（1，6），开口向下，又求得它与x轴两交点为（1-，0），（1＋，0），所以点（-2，4）在抛物线与x轴围成的区域外，（0，0）在边界上，不合要求；当x=-1时，y=2＞1，所以点（-1，1）在区域内；当x=1时，y=6＞1，则点（1，1）在区域内；当x=2时，y13\n=5＞4，所以点（2，4）在区域内.所以一共有3个点会落在区域内，概率为.二、与几何结合7.【解析】因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有5种情况，分别是1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；其中能构成三角形的只有2，3，3一种情况，所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是.8.【解析】如解图，每个格点中去掉不能与B、O组成三角形的五个点（-2，-2）、（-1，-1）、（0，0）、（1，1）、（2，2），其他20个格点都可能是点A，所以点A可以出现的地方共20个.其中能与B、O组成直角三角形的点有8个，分别是（-2，2）、（-1，1）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（2，0）、（1，-1）、（2，-2），所以能组成直角三角形的概率是=.第8题解图9.【解析】本题考查函数、概率、几何等知识的综合运用，难度较大.先算出点P的坐标是（1，1），（2，），（3，），（，2），（，3），将以上五点的横坐标分别代入y=-x+3中算出直线上点的纵坐标，如前者纵坐标小于后者纵坐标则在△AOB内.可知当x=1时，y=2,因为1小于2，故点（1，1）在△AOB内，同理可知（2，），（，2）也在△AOB内，所以答案为.命题点4统计与概率结合1.解：(1)48；105.(3分）补全条形统计图如解图所示：13\n第1题解图【解法提示】：∵B类学生12人，占调查总人数的25%，∴总人数为12÷25%=48人.∵由条形统计图知，A类4人，B类12人，D类14人，∴C类有48-4-12-14=18人，补全条形统计图如解图所示.D类学生占调查总人数的百分比为，则扇形D的圆心角为×360°=105°.(2)设4名学生中，擅长书法的两人为A1、A2，擅长绘画的两人为B1、B2，则列表如下：（8分）A1A2B1B2A1A1A2A1B1A1B2A2A2A1A2B1A2B2B1B1A1B1A2B1B2B2B2A1B2A2B2B1由上表可以看出，总共有12种等可能的组合情况，其中一名擅长书法、一名擅长绘画的组合有8种，∴P(一名擅长书法、一名擅长绘画)==.（10分）2.解：(1)22%，50.(3分)补充折线统计图如解图①：13\n四种类型人数的折线统计图第2题解图①【解法提示】扇形统计图中C所占的百分比是：1-6%-20%-52%=22%；∵由折线统计图可知：A类型共有4+6=10（人），占总人数的20%，∴本次抽样调查的人数共有：10÷20%=50（人）.(2)根据题意，“很不喜欢”吃火锅的人数为3人，其中男性2人，分别记为男1，男2，女性1人.画树状图如解图②：第2题解图②∵共有6种等可能的结果，两位市民都是男性的有2种情况，∴P(两位市民都是男性)==.(10分)3.解：（1）由题得：x%+10%+15%+45%=1,解得x=30.（1分）调查总人数为180÷45%=400（人），（2分）B等级的人数为400×30％＝120（人）;（3分）C等级的人数为400×10％＝40（人）;（4分）补全条形统计图如解图①.（6分）第3题解图①（2）分别用P1、P2，Q1、Q2表示两个小组的4个同学，画树状图如解图②：第3题解图②或列表如下：P1P2Q1Q2P1（P1,P2）(P1,Q1)(P1,Q2)13\nP2（P2,P1）(P2,Q1)(P2,Q2)Q1（Q1,P1）(Q1,P2)(Q1,Q2)Q2（Q2,P1）(Q2,P2)(Q2,Q1)可得共有12种情况，2人来自不同小组的有8种情况，∴所求的概率为＝.（10分）4.解：（1）8；（2分）补充折线图如解图①：(6分)第4题解图①【解法提示】由折线统计图中可以看出喜欢“B”种口味的人数有12人，对应的扇形统计图所占百分比为30％，因此所调查的总人数为：12÷30%=40(人).故这组数据的平均数为==8.由折线统计图可以看出喜欢“A”种口味的人数为40-12-8-10-6＝4（人）.(2)画树状图：第4题解图②由解图②可知，共有12种等可能结果，其中恰好是一盒B味、一盒C味的结果有4种，(8分)∴P(恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶)==.(10分)【拓展猜押】【解析】∵关于x的分式方程=1的解为非负数，∴x=≥0，∴1-a＞0，∴a=-2、-1、-、0；当a=-时，x=3,分式方程无意义，则a=-2，-1，0，∵满足关于x的不等式组有三个整数解，∴-1≤a＜0，∴a=-1，∴使得关于x13\n的分式方程=1的解为非负数，且满足关于x的不等式组有三个整数解的有1个，∴概率是：.【变式改编1】【解析】函数与坐标轴围成的三角形面积为，即三角形的两直角边的乘积为，当x=0时，y=a,当y=0时，x=-,∴|a|·|-|＝，当a=-1时，等式成立，当a=1时，等式成立，当a=2时，等式不成立，即a只能取-1或1，又∵不等式组无解，即无解，当a=-1时，不等式无解，当a=1时，不等式有解，故满足条件的只有-1，故概率为.【变式改编2】解：（1）50.（2）36;D组的人数是50×10%=5（人），则C组的人数是：50-15-20-5=10（人），补全条形统计图如解图所示.变式改编2题解图①(3)画树状图：“非常赞同”和“不赞同”的分别用A1，A2，和D1，D2表示.则利用树状图表示为：变式改编2题解图②共有12种等可能的情况，所选的两位网友中恰好一位非常赞同另一位不赞同的有8种情况，则所选的两位网友中恰好一位非常赞同另一位不赞同的概率是：＝.命题点5涉及游戏公平性的概率计算13\n1.解：（1）画树状图如下：第1题解图由解图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，∴积为0的概率为P==.（6分）（2）不公平.（7分）由解图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种.∴积为奇数的概率为P1==，（8分）积为偶数的概率为P2==.（9分）∵≠，∴该游戏不公平.游戏可修改为：若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢.（10分）13
