第五章四边形第二节 矩形、菱形和正方形玩转重庆8年中考真题(2022～2022年)命题点1 矩形的性质及相关计算(高频)1.（2022重庆B卷8题4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°第1题图第2题图2.（2022重庆B卷7题4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为()A.6cmB.4cmC.2cmD.1cm3.（2022重庆B卷18题4分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2,BC=2，点E，F分别是线段AB,AD上的点，连接CE,CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=.第3题图4.（2022重庆A卷24题10分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF,连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(1)求证：OE=OF;(2)若BC=2，求AB的长.第4题图8\n【变式改编】（2022重庆B卷8题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB=4，则AC为()A.6B.8C.10D.12变式改编题图命题点2 菱形的性质及相关计算(高频)1.(2022重庆A卷15题4分)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为.第1题图2.（2022重庆24题10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1＝∠2.(1)若CE=1,求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME.第2题图8\n【拓展猜押1】如图，在菱形ABCD中，AB=BD.点E,F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G.若BG＝2，DG=3,则四边形ABGD的面积为.拓展猜押1题图命题点3 正方形的性质及相关计算(高频)1.（2022重庆10题4分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是()第1题图A.1B.2C.3D.42.(2022重庆B卷18题4分)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE,垂足是F，连接OF，则OF的长为.第2题图第3题图3.（2022重庆B卷18题4分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH.若BH=8，则FG=.【拓展猜押2】如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH,点C落在点Q处，EQ与BC交于点G,则△EBG的周长是cm.拓展猜押2题图8\n【答案】命题点1 矩形的性质及相关计算1.B【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O，∴OB=OC，∵∠ACB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠AOB＝∠ACB+∠DBC=60°.2.C【解析】∵△AB1E是△ABE折叠得到的，∴△AB1E≌△ABE，∴AB=AB1=6cm，∠B=∠AB1E=∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=6cm.∵BC=8cm，∴EC=BC-BE=8-6=2cm.3.【解析】如解图，作FG⊥AC于G点，∴∠FGC=∠B.∵EC=FC，∠BCE=∠ACF，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴BC=CG=2.在Rt△ABC中，AB=2，∴tan∠BAC=，∴∠BAC=60°，∠GAF=30°，AC=2AB=4.∴AG=4-2.在Rt△AFG中，tan30°=，∴GF==BE，∴AF=2GF=，AE=2-,∴AF＋AE=＋2-=2＋==.第3题解图4.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.（1分）∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC.（2分）∵AE=CF,∴△AEO≌△CFO(ASA).（3分）∴OE=OF.（4分）(2)解：如解图，连接BO.∵OE=OF,BE=BF,第4题解图∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴∠BOF=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF=90°.又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF＝∠BAC+∠EOA，∴∠BAC=∠EOA,∴AE=OE.∵AE=CF,OE=OF,∴OF=CF.8\n又∵BF=BF,∴△BOF≌△BCF(HL),（6分）∴∠OBF=∠CBF,（7分）∴∠CBF=∠FBO=∠OBE.∵∠ABC=90°，∴∠OBE=∠ABC=30°,（8分）∴∠BEO=60°,∴∠BAC=30°.（9分）∵tan∠BAC=，∴tan30°=,即=,∴AB=6.（10分）【变式改编】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O，∴OB=OA，∴∠OAB＝∠OBA,又∵∠AOB=60°，∴∠OAB=∠OBA＝60°，∴△ABO为等边三角形，∴OA=AB＝4，∴AC＝2OA=8.命题点2 菱形的性质及相关计算1.28【解析】∵菱形的四条边都相等，∴AB=AD，又∵∠A=60°，则△ABD是等边三角形，∴AB=BD=7，则菱形ABCD的周长为4×7=28.2.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，（1分）∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，（2分）∵ME⊥CD，∴CD=2CE，（3分）∵CE=1，∴CD=2，（4分）∴BC=CD=2.（5分）（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，（6分）在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），8\n∴ME=MF，（7分）如解图，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，第2题解图∴AM=MG，（8分）在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，（9分）∵GM=GF+MF，∴AM=DF+ME.（10分）【拓展猜押1】【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形,∴△DBC是等边三角形.∵CE=DF,∠C=∠BDF,DC=BD,∴△DEC≌△BFD(SAS),∴∠EDC=∠DBF,∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠GDF=60°.如解图，过点D作DM⊥BF于M，∵∠BGE=60°,∴∠DGM=60°,∵DG=3,∴DM=DG·sin60°=,GM=DG·cos60°=.∴S△BGD=BG·DM=×2×=.∵BD==,∴S△ABD==,∴四边形ABGD的面积为S△ABD+S△BGD=+=.拓展猜押1题解图命题点3 正方形的性质及相关计算C【解析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、三角形面积的计算等.8\n序号逐项分析结论①由折叠的性质知DE=EF=2，AD=AF，∠AFE=∠D=90°.又因为AB=AF，由HL可证△ABG≌△AFG√②由AB=6，CD＝3DE可得DE=2，CE=4.设BG=x,则FG=BG=x，GC=6-x.在Rt△CEG中，由勾股定理可得：GE2=GC2+CE2，所以(x+2)2=(6-x)2+42，解得x=3,所以BG=GF=3，GC=BC-BG=3，所以BG=GC√③由BG=GC可得∠GCF=，又∠AGB=∠AGF=，所以∠GCF=∠AGB，所以AG∥CF√④在Rt△GCE中，S△GCE=GC·CE=6，又因为GF=3，EF=2，所以S△FGC=S△GCE=×2.【解析】如解图，过点O作OG⊥OF，交BF于点G，∵AC与BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BOC=90°，则∠BOG=∠FOC，又∵OB=OC，∠BGO=90°＋∠OFG，∠OFC=90°＋∠OFG，∴∠BGO=∠OFC，则△OBG≌△OCF，∴OG=OF，BG=CF，∵CD=6，DE=2CE，解得CE=2，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BE＝==2，∵∠ECB=∠CFE=90°,∠OBG=∠FCO,∠OBC=∠DCO=45°，∴∠EBC=∠FCE,∴△CEF∽△BEC，则CE2=EF·BE，则EF===，∴BF=BE-EF=，在Rt△FEC中，利用勾股定理可得，CF＝==，故GF=BF－BG=－=，在等腰Rt△OGF中，OF=GF·sin45°=×=.8\n第2题解图3.5【解析】如解图所示，连接CG，在△CGD与△CEB中，∴△CGD≌△CEB(SAS),∴CG=CE,∠GCD=∠ECB,∴∠GCE=90°,即△GCE是等腰直角三角形.又∵CH⊥GE,∴CH=EH=GH.过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N,如解图，则∠MHN=90°,又∵∠EHC=90°,∴∠1=∠2,∴∠HEM=∠HCN.在△HEM与△HCN中，,∴△HEM≌△HCN(ASA),∴HM=HN,∴四边形MBNH为正方形.∵BH=8,∴BN=HN=4,∴CN=BC-BN=6-4=2.在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH==＝2，∴GH=CH=2.∵HM∥AG,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.又∵∠HNC=∠GHF=90°,∴Rt△HCN∽Rt△GFH.∴=,即=,∴FG=5.第3题解图【拓展猜押2】12【解析】由翻折的性质得，DF=EF，设EF=x，则AF=6-x，∵点E是AB的中点，∴AE=BE=×6=3，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+（6-x）2=x2，解得x=,∴AF=6-=,∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE，∴==,即==,解得BG=4，EG=5，∴△EBG的周长为3+4+5=12.8
