第22讲 全等三角形1.(2022，河北)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求∠ACE的度数；(3)求证：四边形ABFE是菱形．第1题图【思路分析】(1)根据旋转的性质得出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．(2)根据AC＝AE，得出∠ACE＝∠AEC，即可求得．(3)根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证．(1)证明：∵△ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝100°.∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)．(2)解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝(180°－∠CAE)＝40°.(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°.∴∠BAE＝∠BFE.∴四边形ABFE是平行四边形．∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．2.(2022，河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．11\n第2题图【思路分析】(1)由BF＝EC，得BC＝EF，根据“SSS”证得全等．(2)由全等三角形的对应角相等得∠ABC＝∠DEF，∠ACF＝∠DFE，根据“内错角相等，两直线平行”得平行线段．(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)解：AB∥DE，AC∥DF.理由：由(1)知△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACF＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.3.(2022，河北)如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)第3题图A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC.取AB的中点C，连接PCD.过点P作PC⊥AB，垂足为C【解析】A.利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．B.过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意．C.利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．D.利用HL判断出Rt△PCA≌Rt△PCB，∴CA＝CB.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意． 全等三角形的性质与判定例1如图，从下列四个条件①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则可以构成正确结论的最多有(B)例1题图A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】当①②③为条件，④为结论时，∵∠A′CA＝∠B′CB，∴∠A′CB′＝∠ACB.∵BC11\n＝B′C，AC＝A′C，∴△A′CB′≌△ACB.∴AB＝A′B′.当①②④为条件，③为结论时，∵BC＝B′C，AC＝A′C，AB＝A′B′，∴△ACB≌△A′CB′.∴∠A′CB′＝∠ACB.∴∠A′CA＝∠B′CB.针对训练1(2022，唐山路南区模拟)下列结论错误的是(B)A.全等三角形对应边上的中线相等B.两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等C.全等三角形对应边上的高相等D.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等【解析】A.如答图①.∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF.∵AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，∴BC＝2BM，EF＝2EN.∴BM＝EN.在△ABM和△DEN中，∴△ABM≌△DEN(SAS)．∴AM＝DN.故本选项正确．B.如教师用的含30°角的三角板和学生用的含30°角的三角板就不全等，故本选项错误．C.如答图②.∵△A′B′C′≌△D′E′F′，∴A′B′＝D′E′，∠B′＝∠E′.∵A′M′是△A′B′C′的高，D′N′是△D′E′F′的高，∴∠A′M′B′＝∠D′N′E′＝90°.在△A′B′M′和△D′E′N′中，∴△A′B′M′≌△D′E′N′.∴A′M′＝D′N′.故本选项正确．D.根据AAS可推出两个直角三角形全等．故本选项正确．训练1答图 图形变化中的全等三角形例2(2022，唐山丰南区二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.若∠DAB的平分线AE交CD于点E，连接BE，且BE平分∠ABC，则以下结论不正确的有(B)①BC＋AD＝AB；②E为CD的中点；③∠AEB＝90°；④S△ABE＝S四边形ABCD；⑤BC＝CE.例2题图A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵AE，BE分别是∠BAD和∠ABC的平分线，∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC.∴∠BAE＋∠ABE＝(∠BAD＋∠ABC)＝90°.∴∠AEB＝180°－(∠BAE＋∠ABE)＝180°－90°＝90°.故③正确．如答图，延长AE交BC的延长线于点F.∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE.在△ABE和△FBE中，11\n∴△ABE≌△FBE(ASA)．∴AB＝BF，AE＝FE.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠F.在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴AD＝CF.∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.故①正确．∵△ADE≌△FCE，∴CE＝DE，即E为CD的中点．故②正确．∵△ADE≌△FCE，∴S△ADE＝S△FCE.∴S四边形ABCD＝S△ABF.∵S△ABE＝S△ABF，∴S△ABE＝S四边形ABCD.故④正确．若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE.∵AD与BC不一定相等，∴BC与CE不一定相等．故⑤错误．综上所述，不正确的结论有1个．例2答图针对训练2(2022，石家庄43中模拟)如图，在Rt△ABC中有一个正方形BDEF，点E正好落在直角三角形的斜边AC上．已知AE＝8cm，EC＝10cm，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？训练2题图【思路分析】由于四边形BDEF是正方形，因此EF＝ED，∠DEF＝90°.将△AFE绕点E逆时针旋转90°得到△GDE，与△EDC组成一个直角三角形，则两直角边长分别是10cm，8cm，由此可求出阴影部分的面积．解：如答图．将△AFE绕点E逆时针旋转90°得到△GDE，与△EDC组成一个直角三角形，则两直角边长分别是10cm，8cm，所以阴影部分的面积是×10×8＝40(cm2)．训练2答图11\n一、选择题1.(2022，安顺)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O.已知AB＝AC，现添加下面的条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是(D)第1题图A.∠B＝∠CB.AD＝AEC.BD＝CED.BE＝CD【解析】AB＝AC，∠A为公共角．A.如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD.B.如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.C.如添加BD＝CE，可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.D.如添加BE＝CD，因为SSA不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．2.(2022，黔西南州)下列各图中a，b，c为三角形的三边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)第2题图A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙【解析】在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等．在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等．不能判定甲与△ABC全等．3.(2022，石家庄新华区二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(D)第3题图A.90°B.120°C.135°D.180°【解析】如答图．由图形，可得∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°.∵三个三角形全等，∴∠4＋∠9＋∠6＝180°.∵∠5＋∠7＋∠8＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋180°＋180°＝540°.∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.11\n第3题答图4.(2022，南京，导学号5892921)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)第4题图A.a＋cB.b＋cC.a－b＋cD.a＋b－c【解析】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.∴∠A＝∠C.∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.5.(2022，临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是(B)第5题图A.B.2C.2D.【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠DCA＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC(AAS)．∴DC＝BE＝1，CE＝AD＝3.∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.6.(2022，龙东，导学号5892921)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B)第6题图A.15B.12.5C.14.5D.17【解析】如答图，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E.∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠D＋∠ABC＝180°＝∠ABE＋∠ABC.∴∠D＝∠ABE.∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB.∵AD＝AB，∴△ACD≌△AEB.∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形．∴四边形ABCD11\n的面积与△ACE的面积相等．∵S△ACE＝×5×5＝12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5.第6题答图7.(2022，石家庄裕华区一模)有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(C) ABCD【解析】A.由SAS证得两个小三角形全等，故本选项不符合题意．B.由SAS证得两个小三角形全等，故本选项不符合题意．C.如答图①.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE，∴x°＋∠FEC＝x°＋∠BDE.∴∠FEC＝∠BDE.所以其对应边应该是BE和CF.而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等．故本选项符合题意．D.如答图②.∵∠D′E′C＝∠B＋∠BD′E′，∴x°＋∠F′E′C＝x°＋∠BD′E′.∴∠F′E′C＝∠BD′E′.∵BD′＝CE′＝2，∠B＝∠C，∴△BD′E′≌△CE′F′.所以能判定两个小三角形全等．故本选项不符合题意．第7题答图二、填空题8.(2022，金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC.第8题图【解析】添加AC＝BC.∵AD，BE为△ABC的两条高，∴∠ADC＝∠BEC＝90°.在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)．9.(2022，衢州)如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB＝ED11\n.(只需写一个，不添加辅助线)第9题图【解析】添加AB＝ED.∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SAS)．三、解答题10.(2022，苏州)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC∥EF. 第10题图【思路分析】由SAS判定△ABC≌△DEF，则∠ACB＝∠DFE，由此证得结论．证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.∵AF＝DC，∴AC＝DF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠ACB＝∠DFE.∴BC∥EF.11.如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB，连接AB，AB与OP交于点E.(1)求证：△OPA≌△OPB；(2)若AB＝6，求AE的长． 第11题图【思路分析】(1)依据PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO＝∠PBO＝90°，再根据PA＝PB，PO＝PO，即可得到Rt△OPA≌Rt△OPB.(2)依据∠APE＝∠BPE，PA＝PB，即可得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3.(1)证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵PA＝PB，PO＝PO，∴Rt△OPA≌Rt△OPB.11\n(2)解：∵△OPA≌△OPB，∴∠APE＝∠BPE.∵PA＝PB，∴AE＝BE.∴AE＝AB＝3.12.(2022，保定一模)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点E在BC边上．(1)求证：△ACD≌△ABE；(2)若∠CDE＝60°，求∠AEB的度数．第12题图【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．(2)利用全等三角形的性质解答即可．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，即∠EAB＝∠DAC.在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE(SAS)．(2)解：∵△ACD≌△ABE，∴∠ADC＝∠AEB.∴∠AEB＝∠ADE＋∠CDE＝45°＋60°＝105°.1.(2022，东营，导学号5892921)如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC的内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2.其中正确的是(A)第1题图A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④【解析】∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC.∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC.∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA.故①正确．∴∠ABD＋∠ECB＝∠ECA＋∠ECB＝∠ACB＝45°.故②正确．∵∠ECB＋∠EBC＝∠ABD＋∠ECB＋∠ABC＝45°＋45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD.故③正确．∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－(CD2－DE2)＝2AB2－CD2＋2AD2＝2(AD2＋AB2)－CD2.故④正确．2.(2022，绍兴)在等腰三角形ABC中，顶角∠A为40°，点P在以点A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为30°或110°.【解析】本题分两种情况．(1)如答图①，当点P在直线AB的右侧时，连接AP.∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°.∵AB＝AB，AC＝PB，BC＝PA，∴△ABC≌△BAP.∴∠ABP＝∠BAC＝40°.∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°.(2)如答图②，当点P在直线AB的左侧时，同(1)中的方法可得∠ABP＝40°.∴∠PBC＝40°＋70°＝110°.综上所述，∠PBC的度数为3011\n°或110°.第2题答图3.(2022，深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是8.第3题图【解析】∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°.∴∠EAC＋∠FAB＝90°.∵∠ABF＝90°，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∴∠EAC＝∠AFB.在△CAE和△AFB中，∴△CAE≌△AFB.∴EC＝AB＝4.∴阴影部分的面积为AB·CE＝8.4.(2022，龙东，导学号5892921)如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.(1)当点E在线段BD上移动时，如图①所示，求证：BC－DE＝DF；(2)当点E在直线BD上移动时，如图②③所示，线段BC，DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．第4题图【思路分析】(1)在BA上截取BH＝BE.构造全等三角形即可解决问题．(2)在题图②上的BC上截取BH＝BE，同(1)法可证DF＝EH.可得DE－BC＝DF.在题图③上的BA上截取BH，使得BH＝BE.同(1)法可证DF＝HE，可得BC＋DE＝DF.(1)证明：如答图①，在BA上截取BH＝BE，连接HE.∵AB＝BC＝BD，BE＝BH，∴AH＝ED.∵∠AEF＝∠ABE＝90°，11\n∴∠AEB＋∠FED＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°.∴∠FED＝∠HAE.∵∠BHE＝∠CDB＝45°，∴∠AHE＝∠EDF＝135°.∴△AHE≌△EDF.∴HE＝DF.∴BC－DE＝BD－DE＝BE＝EH＝DF.(2)解：如答图②，在BC上截取BH＝BE，连接HE.同法可证DF＝EH.可得DE－BC＝DF.如答图③，在BA上截取BH，使得BH＝BE，连接HE.同法可证DF＝HE.可得BC＋DE＝DF.第4题答图11
