补偿练8 解析几何(限时：40分钟)一、选择题1.已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由k1＝k2，1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件.答案 C2.双曲线x2－2y2＝1的离心率是( )A.B.C.D.3解析 由双曲线方程知a＝1，b＝⇒c＝，∴e＝＝.答案 B3.抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )A.(0，a)B.(a，0)C.D.解析 由题意知x2＝y，所以抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.答案 C4.直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A.B.2C.2D.解析 设圆心为C，显然直线y－1＝k(x－3)过定点P(3，1)，在过P(3，1)的所有直线中，垂直于PC的直线所截得的弦长最短，而|PC|＝，∴最短弦长为2＝2.答案 C5.直线x＋ay＋1＝0与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定解析 直线x＋ay＋1＝0必过定点(－1，0)，因为(－1)2＋(0－1)2＜4，所以点(－1，0)在圆x2＋(y－1)2＝4的内部，所以直线x＋ay＋1＝0与圆x2＋(y－1)2＝4相交.5\n答案 A6.已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A.B.(1，＋∞)C.(1，2)D.解析 由题意可得2k－1＞2－k＞0，即解得1＜k＜2.答案 C7.抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A.3B.2C.2D.解析 如图，易知两渐近线方程为y＝±x，抛物线准线方程为x＝3.易求得A(3，).故三角形面积×3×2＝3.答案 A8.已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是该抛物线上两点，|AF|＋|BF|＝6，则AB中点到准线距离为( )A.B.2C.3D.4解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6，解得x1＋x2＝4，∴线段AB的中点横坐标为2，∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为3.答案 C9.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1(m＞n＞0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝( )A.m2－a2B.－C.(m－a)D.m－a解析 不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2，两式联立得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，5\n所以|PF1|·|PF2|＝m－a.答案 D10.已知椭圆＋＝1，F为右焦点，A为长轴的左端点，P点为该椭圆上的动点，则能够使·＝0的P点的个数为( )A.4B.3C.2D.1解析 F(1，0)，A(－2，0)，设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(1－x，－y)，由·＝0，∴(－2－x)(1－x)＋y2＝0，又P点为该椭圆上的动点，则＋＝1，解得x＝－2，y＝0.∴P点为椭圆的左端点.答案 D11.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，若∠F1PF2＝，则e等于( )A.B.C.D.3解析 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨设m＞n，由m＋n＝2a1，m－n＝2a2得m＝a1＋a2，n＝a1－a2.又∠F1PF2＝，∴4c2＝m2＋n2－mn＝a＋3a，∴＋＝4，即＋＝4，解得e＝.答案 C12.已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为( )A.B.C.(0，1)D.解析 ∵椭圆C1：－＝1，∴a＝m＋2，b＝－n，c＝m＋2＋n，e＝＝1＋，∵双曲线C2：＋＝1，a＝m，b＝－n，c＝m－n，5\n∴由条件有m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，∴e＝1－，由m＞0，有m＋2＞2，＜，－＞－，∴1－＞，即e＞，而0＜e1＜1，∴＜e1＜1.答案 A二、填空题13.若过点P(3，4)的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则实数a的值为________.解析 设过点P(3，4)的直线方程为y－4＝k(x－3)，此直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，所以圆心(2，2)到直线的距离为圆的半径2.即＝2，解得k＝0或－，又因为与直线ax－y＋1＝0垂直，所以ka＝－1，所以a＝.答案 14.若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是________.解析 ∵直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当b＝a时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3＋2.答案 3＋215.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.解析 根据抛物线的焦半径公式得1＋＝5，p＝8.取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.答案 16.双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e5\n＝________.解析 双曲线－＝1的右焦点为(c，0)，左顶点为(－a，0)，右焦点到双曲线渐近线bx－ay＝0的距离为：＝＝b，右焦点(c，0)到左顶点(－a，0)的距离为a＋c，由题意可得b＝(a＋c)，即有4b2＝a2＋c2＋2ac，即4(c2－a2)＝a2＋c2＋2ac，即3c2－5a2－2ac＝0，由e＝，则有3e2－2e－5＝0，解得e＝.答案 5
