补偿练4 三角函数与三角恒等变换(限时：40分钟)一、选择题1.已知sinα＋cosα＝，则sin2＝( )A.B.C.D.解析 ∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－，∴sin2＝＝＝.答案 B2.已知函数f(x)＝2sinxcosx，为了得到函数g(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析 由于函数f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，函数g(x)＝sin2x＋cos2x＝sin＝sin2，故将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)的图象.答案 D3.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以为( )A.f(x)＝3sinB.f(x)＝3sinC.f(x)＝3sinD.f(x)＝3sin7\n解析 由图象可知A＝3，＝－＝2π⇒T＝4π⇒ω＝.当x＝－时，sin＝1⇒－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴解析式可以为f(x)＝3sin.答案 D4.已知函数f(x)＝2sinx(cosx－sinx)＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ可以为( )A.B.C.D.解析 f(x)＝sin2x－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝2sin，则f(x－φ)＝2sin，∵f(x－φ)为偶函数，∴－2φ＋＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝－－，k∈Z，结合各选项可知，φ可以为，故选B.答案 B5.已知函数f(x)＝tan，则下列说法错误的是( )A.函数f(x)的周期为B.函数f(x)的值域为RC.点是函数f(x)的图象一个对称中心D.f＜f解析 由题设知，A：T＝，正确；B：y∈R，正确，C：f＝0，正确；D：f＝tan＞0，f＝tan＜0，tan＞tan，错误.答案 D6.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形7\nC.等边三角形D.等腰直角三角形解析 由b＝2ccosA，根据正弦定理得sinB＝2sinCcosA，因为在三角形中，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，代入上式可得：sinAcosC＋cosAsinC＝2sinCcosA，即sinAcosC－cosAsinC＝sin(A－C)＝0，又－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，同理A＝B，所以△ABC的形状为等边三角形.答案 C7.使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在上为减函数的θ值为( )A.－B.－C.D.解析 由已知得：f(x)＝2sin，由于函数为奇函数，故有θ＋＝kπ，k∈Z，即θ＝kπ－(k∈Z)，可淘汰B、C选项，然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ＝时，f(x)＝－2sin2x其在区间上递减.答案 D8.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝( )A.1B.2C.3D.4解析 在△ABC中，由＝得acosC＝3ccosA，由余弦定理有cosC＝＝3，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍).答案 D9.设ω＞0，函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为( )7\nA.B.C.D.3解析 ∵函数y＝sin的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴＝n×，n∈Z，∴ω＝n×，n∈Z，又ω＞0，故其最小值是.答案 C10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示.若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为( )A.B.πC.πD.或π解析 要使方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解.只需函数y＝f(x)与函数y＝m的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x＝或关于x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.答案 D11.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )A.y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数B.y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C.y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数D.y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数解析 f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，∵函数图象关于直线x＝0对称，7\n∴函数f(x)为偶函数，∴φ＝，∴f(x)＝2cos2x，∴T＝＝π，∵0＜x＜，∴0＜2x＜π，∴函数f(x)在上为减函数.答案 B12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f(x)的图象( )A.关于点对称B.关于直线x＝对称C.关于点对称D.关于直线x＝对称解析 由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin＝sin是奇函数，又|φ|＜，故φ＝－，故函数f(x)＝sin，故当x＝时，函数f(x)＝sin＝1，故函数f(x)＝sin关于直线x＝对称，答案 D二、填空题13.已知sin2α＝，0＜α＜，则cos的值等于________.解析 ∵(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝1＋＝，0＜α＜，7\n∴sinα＋cosα＝，∴cos＝＝cosα＋sinα＝.答案 14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B＝A＋，b＝2a，则B＝________.解析 ∵b＝2a，∴sinB＝2sinA＝2sin＝sinB－cosB⇒cosB＝0，∴B＝.答案 15.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示.若f(α)＝1，α∈，则sin2α＝________.解析 由函数图象知：A＝3，＝－＝，所以T＝π，则ω＝2；故f(x)＝3sin(2x＋φ)，又过，解得φ＝，f(x)＝3sin，因为f(α)＝1，即3sin＝1，得sin＝，∵α∈，∴2α∈，∴2α＋∈，故cos＝－，则sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.答案 16.设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______.(填序号)7\n①f(x)的图象过点；②f(x)在上是减函数；③f(x)的一个对称中心是；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sinωx的图象.解析 ∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f＝3sin，则sin＝1或－1，∵φ∈，∴＋φ∈，∴＋φ＝⇒φ＝，∴f(x)＝3sin.①：令x＝0⇒f(x)＝，正确.②：令2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z⇒kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.令k＝0⇒＜x＜，即f(x)在上单调递减，而在上单调递增，错误.③：令x＝⇒f(x)＝3sinπ＝0，正确.④：应平移个单位，错误.答案 ①③7
