考点 基本不等式的应用1．(2022·重庆，3)(－6≤a≤3)的最大值为( )A．9B.C．3D.解析 ∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a＋6)≥2，即9≥2，∴≤，并且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号．答案 B2．(2022·山东，12)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )A．0B．1C.D．3解析 由x2－3xy＋4y2－z＝0得＝1≥，即≤1，当且仅当x2＝4y2时成立，又x，y为正实数，故x＝2y.此时将x＝2y代入x2－3xy＋4y2－z＝0得z＝2y2，所以＋－＝－＋＝－＋1，当＝1，即y＝1时，＋－取得最大值为1，故选B.答案 B3．(2022·福建，5)下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2＋)>lgx(x>0)3\nB．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析 取x＝，则lg＝lgx，故排除A；取x＝π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.应选C.答案 C4．(2022·重庆，7)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A.B．4C.D．5解析 ∵2y＝2＝(a＋b)＝5＋＋，又∵a>0，b>0，∴2y≥5＋2＝9，∴ymin＝，当且仅当b＝2a时“＝”成立．答案 C5．(2022·上海，15)若a，b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析 由ab>0，可知a、b同号．当a<0，b<0时，B、C不成立；当a＝b时，由不等式的性质可知，A不成立，D成立．答案 D6．(2022·上海，5)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析 ∵x2＋2y2≥2＝2xy＝2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2.答案 27．(2022·天津，14)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．3\n解析 因为a＋b＝2，所以·＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当a>0时，＋1＝，＋≥；当a<0时，＋1＝，＋≥，当且仅当b＝2|a|时，等号成立．因为b>0，所以原式取最小值时b＝－2a.又a＋b＝2，所以a＝－2时，原式取得最小值．答案 －28．(2022·湖南，10)设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．解析 ∵x，y∈R且xy≠0，∴(x2＋)·(＋4y2)＝5＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当＝4x2y2，即xy＝±时，取得最小值9.答案 99．(2022·浙江，16)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析 依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.当且仅当2x＝y＝时，2x＋y达到最大值.答案 3
