A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A．3000B．3300C．3500D．4000解析 由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元，(0≤x≤70，x∈N)则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)，故选B.答案 B2．(2022·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )A．2B．4C．8D．16解析 ∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)，∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，∵m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C.答案 C5\n3．(2022·宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为( )①y＝x＋；②y＝sinx＋(0<x<π)；③y＝ex＋4e－x；④y＝log3x＋4logx3.A．4B．3C．2D．1解析 ①中，由于x的符号不确定，故不满足条件；②中，0<sinx≤1，而应用不等式时等号成立的条件为sinx＝2，故不满足条件；③正确；④中log3x，logx3的符号不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件．答案 D4．(2022·北京模拟)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A．50B．25C．50D．100解析 设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立．答案 A二、填空题5．(2022·江苏南通4月模拟)若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．解析 ∵ab－4a－b＋1＝0，∴b＝.∵a>1，∴b>0.∵ab＝4a＋b－1，∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋2·＋1＝6a＋＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－1)＋＋15.∵a－1>0，∴6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27，当且仅当(a－1)2＝1(a>1)，即a＝2时等号成立．∴所求最小值为27.答案 27一年创新演练6．设x∈R,对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )A．－5B．－4C.D.－5\n解析 因为＋＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，所以－－≤－，选D.答案 D7．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，则P与Q的大小关系是( )A．P≥QB．P<QC．P≤QD．P>Q解析 P＝(log0.5a5＋log0.5a7)＝log0.5a5a7＝log0.5a6，Q＝log0.5<log0.5＝log0.5a6，所以P>Q.答案 DB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·北京海淀二模)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－∞，2－1)C．(－1，2－1)D．(－2－1，2－1)解析 由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立)，∴k＋1<2，即k<2－1.答案 B9．(2022·皖北四市联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为( )A．4B．4C．8D．8解析 ∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a>0且Δ＝4－4ac＝0.∴c＝，5\n∴＋＝＋＝＋≥4(当且仅当a＝1时取等号)，∴＋的最小值为4，故选A.答案 A二、填空题10．(2022·山东临沂二模)已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是________．解析 ∵x、a、b、y成等差数列，∴a＋b＝x＋y.∵x、c、d、y成等比数列，∴cd＝xy，则＝＝＋＋2≥4(x>0，y>0)，当且仅当＝时，取等号．故答案为4.答案 411．(2022·吉林四平5月)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．解析 设原价为1，则提价后的价格为：方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，方案乙：(1＋%)2，因为≤＋＝1＋%，且p>q>0，所以<1＋%.答案 乙三、解答题12．(2022·江苏无锡调研题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．5\n解 (1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200＝800×(x＋)＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g(x)＝x＋(0<x≤14.5)，显然是减函数，∴x＝14.5时，g(x)有最小值，相应造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米．一年创新演练13．已知向量a＝(m，1)，b＝(1－n，1)，m＞0，n＞0，若a∥b，则＋的最小值是________．解析 向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当n＝m＝2－时等号成立，故＋的最小值是3＋2.答案 3＋214．已知x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，＋的最小值为16，则n的值为________．解析 ∵x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，∴＋＝(nx＋y)≥n＋4＋2＝n＋4＋4，当且仅当y＝2时取等号．∴n＋4＋4＝16，解得n＝4.故答案为：4.答案 45
