A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·衡水中学四调)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是( )A.4B.3C.2D.1解析 因为由对数的运算可知lg2x＋lg8y＝lg2x＋3y＝lg2，∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝时，即x＝，y＝时取等号，所以A正确.答案 A2.(2022·济南一中高三期中)若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )A.18B.6C.2D.2解析 3a＋3b≥2＝2＝2＝6.答案 B3.(2022·河南洛阳质检)设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：≤，则p是q成立的是( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件.答案 B4.(2022·广东深圳模拟)已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )A.2B.2C.4D.5解析 ＋＋2≥2＋24\n≥2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，等号成立.因此＋＋2的最小值为4.答案 C一年创新演练5.函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象过一个定点P，且点P在直线mx＋ny－1＝0(m＞0，n＞0)上，则＋的最小值是( )A.12B.13C.24D.25解析 函数f(x)＝ax－1＋3恒过点P(1，4)，∴m＋4n－1＝0，m＋4n＝1.∴＋＝(m＋4n)＝1＋＋＋16≥25.答案 D6.在“＋＝1”的分母位置分别填上一个自然数________、________，使它们的和最小，其和的最小值为________.解析 设这两个自然数分别为x，y，则有x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝10，y＝15时等号成立，故分别填10和15，其和的最小值为25.答案 10 15 25B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·重庆一中检测)已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是( )A.B.C.D.4\n解析 由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，得：ab(c－1)＝c，∵a，b，c均为正数，∴c－1＞0，即c＞1.故ab＝，由ab＝a＋b≥2得ab≥4.可得≥4，即c≤，因此c∈.答案 D二、填空题8.(2022·吉林市高三摸底)已知正项等比数列{an}的公比q＝2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________.解析 正项等比数列{an}的公比q＝2，∵存在两项am，an，使得＝4a1，∴＝4a1，∵a1≠0，化简上式可得m＋n＝6.则＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当n＝2m＝4时取等号.∴＋的最小值为.答案 9.(2022·山东济宁模拟)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.解析 ab＝a＋b＋3≥2＋3，ab－2－3≥0，(－3)(＋1)≥0，故－3≥0，即ab≥9，由a＞0，b＞0知，当且仅当a＝b＝3时等号成立.答案 [9，＋∞)10.(2022·济南一模)若点A(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________.解析 ∵点A(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，∴m＋n＝2.又mn＞0，则＋＝4\n＝≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立.答案 2一年创新演练11.圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )A.B.C.D.解析 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1，2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤＝(a＝b时取等号).故ab的取值范围是.答案 A12.已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )A.B.4C.D.解析 因为a＞0，b＞0，1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号，又因为a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋，因为f(t)在上单调递减，所以f(t)min＝f＝，此时a＝2b＝，故选D.答案 D4
