第2讲 命题及其关系、充要条件 1.如果一个命题的逆命题是真命题，则该命题的( )A．原命题必是假命题B．否命题必是假命题C．逆否命题必是真命题D．否命题必是真命题 2.对于x，y∈R，则“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件 3.(2022·岳阳模拟)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题为( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 4.“x<－1”是“x2－1>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5.(2022·长沙模拟)若“x2>4”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________． 6.给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是__________． 7.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；3\n(2)若x>2，y>3，则x＋y>5. 1.已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要不充分条件是( )A．0<x<1B．－1<x<1C.<x<D.<x<2 2.若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________． 3.已知函数f(x)＝x3－(a－1)x2＋b2x，其中a，b为实常数．(1)求函数f(x)为奇函数的充要条件；(2)证明：“(a－1)2<b2”是“f(x)在R上是增函数”的充分条件．第2讲巩固练习1．D 解析：由于逆命题与否命题互为逆否命题，真假性相同，故选D.2．B 解析：由x2＋y2＝0，得x＝0且y＝0，则xy＝0，即必要条件成立．而xy3\n＝0，取x＝0，y＝1，则x2＋y2＝1≠0，即充分条件不成立，故选B.3．D 解析：x2<1的否定为x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故逆否命题为若x≥1或x≤－1，则x2≥1.故选D.4．A 解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0⇒/x<－1，所以“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．5．－2 解析：由题意，{x|x<a}{x|x>2或x<－2}，故a≤－2.6．①②④解析：①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①是真命题．②其逆否命题为真，故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．7．解析：(1)原命题是真命题．逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若x＋y>5，则x>2，y>3是假命题．否命题：若x≤2或y≤3，则x＋y≤5是假命题．逆否命题：若x＋y≤5，则x≤2或y≤3是真命题．提升能力1．B 解析：由x2－x<0得0<x<1.设p的一个必要不充分条件为q，则p⇒q，但q⇒/p，故选B.2．[－3,0]解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a<0.所以，实数a的取值范围为[－3,0]．3．解析：当a<0时，设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0}＝{x|3a<x<a}，B＝{x|x2＋2x－8>0}＝{x|x<－4或x>2}，因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以AB.所以3a≥2或a≤－4，又a<0，3
