余江一中2022届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设，则=（）A．B．1C．2D．2.（）A．B．C．D．3．给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①④B．①②C．②③D．③④4.函数在点处的切线斜率的最小值是（）A．B．C．D．5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则等于（）A．B．C．D．6.下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题：“，”的否定：“，”；③用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好；-11-\n④若，，，则．A．①③④B．①④C．③④D．②③7．定义在上的函数满足．当时，,当时，，则（）（A）（B）（C）（D）8.在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为（）①函数的图象关于点成中心对称；②对若，则；③若实数满足则的最大值为；④若为锐角三角形，则A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数的最小值为（）A．6B．8C．9D．1210．已知函数为奇函数，则()A.-28B.-8C.-4D.411.将5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）种．A．240B．180C．150D．54012．已知函数的定义域是，是的导数，，，，的导数恒大于零，函数（是自然对数的底数）的最小值是（）-11-\nA.-1B.0C.1D.2第II卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知圆C的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C的交点的直角坐标为．14.若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。（用数字作答）。15.如图，在边长为(为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为.16.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y＝|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数是上的“平均值函数”．②若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥．③若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．④若是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）-11-\n二、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．18．（本小题满分12分）函数，（其中，，）的图象与轴相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求的值域．19.（本小题满分12分）已知函数．-11-\n(1)当时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；(2)求的取值范围，使得f(x)在区间上是单调函数．20.（本小题满分12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视台应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三个人是否应聘成功是相互独立的.(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值；(2)记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数，其中（1）判别函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，-11-\n若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知（），，其中是自然对数的底数，．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，；（3）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．-11-\n余江一中2022届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一．1-5DBCAB6-10CACBA11-12CB二．13.14.3115.16.①③④三．17.（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|............................4分∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，∴a=3；……………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，.…………7分∵m＞n＞0，∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，∴2m+﹣2n≥3，……………………………………………………………9分即2m+≥2n+a．……………………………………………………………10分18.解析：（Ⅰ）两交点之间距离为且图象上最低点，…………………………………………………………2分将点代入解得∴............................................4分（Ⅱ）∵函数∴……………………………………………………6分解得，∴的单调递增区间为，…………………………8分-11-\n（Ⅲ）∵∴……………………………………………………………9分即∴，值域为…………………………………………………12分19.解析：(1)当时，=……2分∵∴当x=时，f(x)取到最小值当x=时，f(x)取到最大值………5分(2)函数图象的对称轴为直线x=当≤，即≥，即时，函数f(x)在区间上是增函数；……………………………………………………………………………7分当<，即，即0≤<或<<或≤时，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数；………………………………………………………………………………9分当≥，即≤，即≤≤时，函数f(x)在区间上是减函数。………………………………………………………………………11分综上：当或≤≤时，函数f(x)在区间上是单调函数。……………………………………………………………………………12分20.解析：（1）由题意得，解得……………………………………………3分（2）的所有可能取值为………………………………………………………………………………4分-11-\n………………………………………………………………5分…………………….6分……………………………………….7分………………………………………………………………………………………………..8分故分布列为………………………………………………………………………………………………………………………10分由题意得：，，，又因为，所以解得的取值范围为……………………………………………………………………………………………………………………12分21.解析（1）是奇函数．…3分（2）任取…………………………………………4分……………………………………5分-11-\n是上的减函数；………………………………………………………….7分（3）是上的减函数..8令……………..9分同理：由得：…………………………10分由得：………………………….11分即综上所得：所以存在这样的k其范围为…………….12分22.解析：（1）∵f（x）=x-lnx，∴，…………………1分由得1<x<e，由得0<x<1∴的单调递减区间为，单调递增区间为（1，e）；…………………………2分∴的极小值为．…………………………………………………………3分（2）由（1）知的极小值为1，也就是在上的最小值为1，令h（x）==，，…………………………………4分当0<x<e时，，所以h（x）在上单调递增，∴h（x）max=h（e）=．∵与不同时取到，∴即……………………………………………………7分-11-\n（3）假设存在实数m，使f（x）=mx-lnx（x∈）有最小值2，．…………………………………………………………………8分①当m≤0时，f（x）在上单调递减，min=f（e）=me-1=2，解得m=，舍去．............................9分②当0<<e时，因为f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增，所以min=f（）=1+lnm=2，解得m=e，满足条件．……………………………10分③当≥e时，因为f（x）在上单调递减，所以min=f（e）=me-1=2，解得m=，不满足≥e，舍去．……………………11分综上，存在实数m=e，使得当x∈时f（x）有最小值2．………….…………12分-11-
