此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2022届高三第一次模拟考试卷理科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·和平区期末]设集合，，则（）A．B．C．D．2．[2022·长沙一模]设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（）A．B．C．D．3．[2022·汕头冲刺]《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A．B．C．D．4．[2022银川一中·]等差数列的前11项和，则（）A．8B．16C．24D．325．[2022·齐鲁名校]已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．6．[2022·南宁二中]展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．7．[2022·鄂尔多斯一中]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．[2022·兰州一中]若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．9．[2022·鄂尔多斯期中]要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．[2022·三湘名校]过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，以、为直径的圆分别与轴相切于点，，则（）A．B．C．D．11．[2022·云天化中学]已知，则，之间的大小关系是（）A．B．C．D．无法比较12．[2022·太原期中]巳知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最大值为（）A．9B．32C．35D．61二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．513．[2022·深圳实验]已知，，若，则与的夹角是_________．14．[2022·射洪中学]设，满足约束条件则的最小值是_________．15．[2022·周南中学]已知双曲线的上支交抛物线于，两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点，为抛物线的焦点，且，则_______．16．[2022·天水一中]如图，图形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，，为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2022·齐鲁名校]在中，，，分别为内角，，所对的边，已知，其中为外接圆的半径，为的面积，．（1）求；（2）若，求的周长．18．（12分）[2022·遵义航天中学]如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）[2022·南昌模拟]5中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。2022年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”），这批海航班学员在10月参加活动的次数统计如图所示：（1）从海航班学员中任选2名学员，他们10月参加活动次数恰好相等的概率；（2）从海航班学员中任选2名学员，用表示这两学员10月参加活动次数之差绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．20．（12分）[2022·拉萨中学]已知椭圆过点，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．521．（12分）[2022·遵义航天中学]已知函数的两个零点为，．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2022·河南一模]在直角坐标系中，已知直线：，：，其中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出，的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，分别与曲线交于点，（非坐标原点），求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2022·张家界三模]已知函数．（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围．552022届高三第一次模拟考试卷理科数学（四）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】∵集合，集合，∴，故选C．2．【答案】B【解析】∵，在复平面内的对应点关于实轴对称，∴，∴，故选B．3．【答案】C【解析】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，∴内切圆的面积为，∴豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C．4．【答案】B【解析】∵等差数列的前11项和，∴，∴，根据等差数列性质：，故选B．5．【答案】B【解析】由，可得，又为偶函数，的图像关于对称，∴，，．又在内单调递减，∴．故选B．6．【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为，∴展开式中，含项的系数为，故选B．7．【答案】C【解析】该几何体是由半个圆柱（该圆柱的底面圆半径是1，高是2）与一个四棱锥（该棱柱的底面面积等于，高是2）拼接而成，其体积等于，故选C．8．【答案】D【解析】根据程序框图，运行结果如下：第一次循环3第二次循环4第三次循环5第四次循环6第五次循环7第六次循环8故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是．故选D．9．【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为，函数，可知只需把函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．故选D．10．【答案】C【解析】设，，∵抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的方程为，∵，为直径的圆分别与轴相切于点，，∴，，∴，将方程代入，整理得，，，，故选C．11．【答案】A【解析】设，则，．∴，，∵，∴，即．故选A．12．【答案】C【解析】数列的前项依次为：1，2，3，，5，7，，．利用列举法可得：当时，中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列，∴数列的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，，69，2，4，8，16，32，64，，当时，中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列，∴数列的前36项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，，71，2，4，8，16，32，64，，∴的最大值．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】∵，，且，∴，即，解得，∴向量与的夹角是，故答案为．14．【答案】【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线过点A时，直线截距最大，此时最小，由得，即，代入目标函数，得．∴目标函数的最小值是．故答案为．15．【答案】1【解析】设，，，由，得，，，由抛物线定义可得，，，由，得，，得，即，结合解得，故答案为1．16．【答案】【解析】连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，，∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴，解得，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则，，，解得，外接球的体积．故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，∴，∴，又，∴，则．，，由余弦定理可得，∴，又，∴，∴．（2）由正弦定理得，又，∴，∴，∴的周长．18．【答案】（1）见解析；（2）存在．【解析】（1）证明：连接交于点，连接，∵四边形是菱形，∴点为的中点．又∵为的中点，∴．又∵平面，平面．∴平面．（2）∵是菱形，，是的中点，∴．又∵平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．假设棱上存在点，设点坐标为，，则，∴，∴，，设平面的法向量为，则，解得．令，则，得．∵平面，∴平面的法向量，∴．∵二面角的大小为，∴，即，解得，或（舍去）；∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．19．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由频率分布表可看出：50名海航班学员中参加活动一次有10人，参加活动2次有25人，参加活动3次有15人，据此计算可得．（2）依题意，随机变量的取值有0、1、2，求解相应的概率值可得从海航班中任选2名学员，记事件：“这两人中一人参加1次活动，一人参加2次活动，事件：“这两人中一人参加2次活动，一人参加3次活动”，事件：“这两人中一人参加1次活动，一人参加3次活动”，∴；，，∴随机变量的分布列为：∴随机变量的期望．20．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，∴，，∴由，得，∴椭圆的标准方程是．（2）∵过椭圆的右焦点作斜率为直线，∴直线的方程是．联立方程组消去，得，显然，设点，，∴，，∵轴平分，∴．∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．21．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；当时，由可解得，由可解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，要使得在上有两个零点，则，解得，则的取值范围为．（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，则在单调递增，∴，故原不等式成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），的极坐标方程为，．曲线的极坐标方程方程为即得，利用，，得曲线的直角坐标方程为．（2）∵，，∴，∴的值为．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为．（2）当时，则，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增．要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为．
