此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2022届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·陕西四校联考]已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A．B．C．D．2．[2022·广西摸底]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2022·资阳一诊]空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：指数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日—20日指数变化趋势下列叙述错误的是（）A．这20天中指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．[2022·长春质监]已知等差数列中，为其前项的和，，，则（）A．B．C．3D．55．[2022·曲靖一中]曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则的值为（）A．B．2C．4D．86．[2022·衡水中学]如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A．B．C．D．7．[2022·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．1D．8．[2022·黑龙江模拟]已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．B．C．3D．29．[2022·玉林预测]已知函数的周期为2，当时，，如果，则函数的所有零点之和为（）3A．8B．6C．4D．1010．[2022·南宁质检]在平面区域内随机取一点，则函数在区间上是增函数的概率为（）A．B．C．D．11．[2022·娄底月考]已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）A．B．C．2D．12．[2022·四川一诊]如图，在中，，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2022·三湘名校]已知：，满足约束条件，则的最小值为________．14．[2022·拉萨中学]若数列的前项和，则的通项公式____________．15．[2022·淄博期末]有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为_______．16．[2022·三湘名校]函数在区间上的值域为________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2022·衡水中学]如图，在中，是边上的一点，，，．（1）求的长；（2）若，求的值．18．（12分）[2022·天水一中]第23届冬季奥运会于2022年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望．附表及公式：3．19．（12分）[2022·陕西四校联考]如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）[2022·南昌期末]已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过，直线与椭圆交于，两点（，两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上．（1）求椭圆的方程；（2）若以，两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．321．（12分）[2022·长春实验中学]已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2022·齐鲁名校]在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为，．（1）求曲线、的普通方程；（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2022·陕西四校联考]已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2），，求的取值范围．32022届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】∵，∴的实部为，故应选B．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，故选C．3．【答案】C【解析】对A，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C．4．【答案】C【解析】等差数列中，为其前项的和，，，，，联立两式得到，，故答案为C．5．【答案】B【解析】由，得，∴，又，∴曲线在处的切线方程为，令，得；令，得．∴切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故选B．6．【答案】C【解析】．故选C．7．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积，故选B．8．【答案】A【解析】设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，，，又，，，．故选A．9．【答案】A【解析】函数的零点满足，在同一个平面直角坐标系中绘制函数和函数的图象，观察可得4对交点的横坐标关于直线对称，据此可得函数的所有零点之和为．本题选择A选项．10．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的的内部及边界(不包括边界，)，则，函数在区间上是增函数，则应满足且，即，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界，，不包括边界)，由，解得，，所以，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率，故选B．11．【答案】B【解析】由双曲线的定义知①，又②，联立①②解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得，即的最大值为，故选B．解法二：由双曲线的定义知①，又②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B．12．【答案】D【解析】由题意得，，，取中点，翻折前，在图1中，连接，，则，翻折后，在图2中，此时．∵，，∴平面，∴，，又，为中点，∴，∴，，在中：①，②，③；由①②③可得．如图3，翻折后，当与在一个平面上，与交于，且，，，又，∴，∴，，此时，综上，的取值范围为．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，由，可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值，最小值为，故答案为．14．【答案】【解析】由题意，当时，，解得，当时，，即，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．15．【答案】84【解析】四个球分为两组有两种分法，，，若两组每组有两个球，不同的分法有种，恰有两个盒子不放球的不同放法是种，若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有种恰有两个盒子不放球的不同放法是种，综上恰有两个盒子不放球的不同放法是种，即答案为84．16．【答案】【解析】，当时，；可得的增区间为，；当时，，可得的减区间为，，，，，，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，得，又，，在中，由余弦定理，得，整理得．解得．（2）由（1）知，，所以在中，由正弦定理．得，解得．因为，所以，从而，即是锐角，所以．18．【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，．【解析】（1）由题意得下表：的观测值为．所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2．且，，，所以的分布列为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵，是的中点，∴，∵平面，∴平面平面，∴平面，∴．又∵在正方形中，，分别是，的中点，易证得∴，∴，∵，∴，即．又，∴平面．（2）取中点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为钝角，，∴，故二面角的余弦值为．20．【答案】（1）椭圆的方程：；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，，，由题意直线的斜率为，弦的中点在直线上，得，，再根据，作差变形得，所以，又因为椭圆过得到，，所以椭圆的方程为．（2）由题意可得椭圆右顶点，，①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，此时要使以，两点为直径的圆过椭圆的右顶点则有以解得或（舍）此时直线为．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则有，化简得①联立直线和椭圆方程，得，，，②把②代入①得，即，得或此时直线过或（舍）综上所述直线过定点．21．【答案】（1）当时，在上，是减函数；当时，在上，是减函数；在上，是增函数；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，又，当时，在上，，是减函数；当时，由得：或（舍）．所以在上，，是减函数；在上，，是增函数．（2）对任意，都有成立，即在上，．由（1）知：当时，在上是减函数，又，不合题意，当时，当时，取得极小值也是最小值，所以，令，所以，在上，，是增函数，又，所以要使得，即，即，故的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）曲线的普通方程为，当时，曲线的普通方程为，当时，曲线的普通方程为（或）．（2）将代入，化简整理得：，设，对应的参数分别为，，，，则恒成立，，，．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以的取值范围为．
