此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2022届高三第一次模拟考试卷文科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·和平区期末]设集合，，则（）A．B．C．D．2．[2022·长沙一模]设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（）A．B．C．D．3．[2022·汕头冲刺]《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A．B．C．D．4．[2022银川一中·]等差数列的前11项和，则（）A．8B．16C．24D．325．[2022·齐鲁名校]已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．6．[2022·河南名校联盟]为了测试小班教学的实践效果，王老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（）A．，B．，C．，D．，7．[2022·鄂尔多斯一中]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．[2022·兰州一中]若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．9．[2022·鄂尔多斯期中]要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．[2022·沈阳期末]如图所示，过抛物线的焦点的直线，交抛物线于点，．交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（）5A．B．C．D．11．[2022·云天化中学]已知，则，之间的大小关系是（）A．B．C．D．无法比较12．[2022·集宁一中]已知正项数列中，，，，，记数列的前项和为，则的值是（）A．B．11C．D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2022·深圳实验]已知，，若，则与的夹角是_________．14．[2022·射洪中学]设，满足约束条件则的最小值是_________．15．[2022·周南中学]已知双曲线的上支交抛物线于，两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点，为抛物线的焦点，且，则_______．16．[2022·衡水金卷]如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2022·齐鲁名校]在中，，，分别为内角，，所对的边，已知，其中为外接圆的半径，为的面积，．（1）求；（2）若，求的周长．18．（12分）[2022·安丘月考]如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，，，是上的一点．（1）求证：平面；（2）若是的中点，求三棱锥的体积．519．（12分）[2022·广东六校联考]某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2022年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2022年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2022年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：辆数天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2022年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2022年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润日收入日维护费用）．20．（12分）[2022·拉萨中学]已知椭圆过点，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．521．（12分）[2022·海淀区期中]已知函数．（1）求函数的极值；（2）求证：当时，存在，使得．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2022·河南一模]在直角坐标系中，已知直线：，：，其中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出，的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，分别与曲线交于点，（非坐标原点），求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2022·张家界三模]已知函数．（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围．552022届高三第一次模拟考试卷文科数学（四）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】∵集合，集合，∴，故选C．2．【答案】B【解析】∵，在复平面内的对应点关于实轴对称，∴，∴，故选B．3．【答案】C【解析】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，∴内切圆的面积为，∴豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C．4．【答案】B【解析】∵等差数列的前11项和，∴，∴，根据等差数列性质：，故选B．5．【答案】B【解析】由，可得，又为偶函数，的图像关于对称，∴，，．又在内单调递减，∴．故选B．6．【答案】B【解析】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B．7．【答案】C【解析】该几何体是由半个圆柱（该圆柱的底面圆半径是1，高是2）与一个四棱锥（该棱柱的底面面积等于，高是2）拼接而成，其体积等于，故选C．8．【答案】D【解析】根据程序框图，运行结果如下：第一次循环3第二次循环4第三次循环5第四次循环6第五次循环7第六次循环8故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是．故选D．9．【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为，函数，可知只需把函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．故选D．10．【答案】C【解析】分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，设，由抛物线定义，得，则，在中，，，则，∴，解得，∵，∴，即，即抛物线方程为．故选C．11．【答案】A【解析】设，则，．∴，，∵，∴，即．故选A．12．【答案】A【解析】∵，∴数列为等差数列，首项为1，公差为．∴，．∴，∴，∴数列的前项和为．则．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】∵，，且，∴，即，解得，∴向量与的夹角是，故答案为．14．【答案】【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线过点A时，直线截距最大，此时最小，由得，即，代入目标函数，得．∴目标函数的最小值是．故答案为．15．【答案】1【解析】设，，，由，得，，，由抛物线定义可得，，，由，得，，得，即，结合解得，故答案为1．16．【答案】【解析】不妨设正方形的边长为1，作，垂足为，由，，得平面，故，又，得平面，故直线在平面内的射影为，易知，则与平面所成的角为，∴与平面内的直线所成的最小角为，而直线与所成角的最大角为（当与重合时，与所成角为的），∴直线与所成角的取值范闱为，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，∴，∴，又，∴，则．，，由余弦定理可得，∴，又，∴，∴．（2）由正弦定理得，又，∴，∴，∴的周长．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）在中，由于，，，∴，故．又平面，平面，∴，又，∴平面．（2）由已知可得，，，，∴三棱锥的体积为：．∵是的中点，∴，∴三棱锥的体积为．19．【答案】（1）万元；（2）见解析．【解析】（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆）34概率纯电动汽车2022年地方财政补贴的平均数为（万元）．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：辆数6000700080009000概率若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为（辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数60006600概率于是方案一下新设备产生的日利润均值为（元）；若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为（辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数600070007600概率于是方案二下新设备产生的日利润均值为（元）．20．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，∴，，∴由，得，∴椭圆的标准方程是．（2）∵过椭圆的右焦点作斜率为直线，∴直线的方程是．联立方程组消去，得，显然，设点，，∴，，∵轴平分，∴．∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．21．【答案】（1）极小值；极大值；（2）见解析．【解析】（1）函数的定义域为，且，∵，令，得到，，当时，变化时，，的变化情况如下表：0↘极小值↗∴函数在处取得极小值；当时，变化时，，的变化情况表如下：0↗极大值↘∴函数在处取得极大值；（2）当时，由（1）可知，的最小值是，∴存在，使得，等价于“”，∴．设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴的最大值为，∴，∴结论成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），的极坐标方程为，．曲线的极坐标方程方程为即得，利用，，得曲线的直角坐标方程为．（2）∵，，∴，∴的值为．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为．（2）当时，则，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增．要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为．
