此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2022届高三第一次模拟考试卷理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·玉林摸底]（）A．B．C．D．2．[2022·云天化中学]已知集合，，则（）A．，B．C．D．3．[2022·浏阳六校联考]函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．[2022·天水一中]设向量，满足，，则（）A．6B．C．10D．5．[2022·沈阳期末]过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．6．[2022·浙江模拟]的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）A．B．C．D．7．[2022·哈尔滨六中]《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图．若输出的的值为350，则判断框中可填（）A．B．C．D．8．[2022南靖一中·]“微信抢红包”自2022年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为元，元，元，元，元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．B．C．D．9．[2022·哈师附中]直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．10．[2022·三湘名校]将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（）3A．B．C．D．11．[2022·哈师附中]已知定义域为的奇函数，当时，，当时，，则（）A．B．C．D．12．[2022·哈师附中]已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2022·陕西四校联考]已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．14．[2022·奉贤区二模]已知实数，满足，则目标函数的最大值是_______．15．[2022·湖北期中]已知，，则__________．16．[2022·张家界模拟]已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2022·朝阳期中]设是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求．18．（12分）[2022·齐齐哈尔期末]已知从地去地有①或②两条公路可走，并且汽车走公路①堵车的概率为，汽车走公路②堵车的概率为，若现在有两辆汽车走公路①，有一辆汽车走公路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响，（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望．319．（12分）[2022·攀枝花一考]如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）[2022·衡阳八中]设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为，为抛物线上第一象限内的点，为椭圆上一点，且有，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．321．（12分）[2022·河南名校联盟]已知函数，．（1）探究函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2022·日照联考]已知平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与曲线相交于不同的两点，．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求实数的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2022·仙桃中学]已知函数．（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求的取值范围．32022届高三第一次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】，故选B．2．【答案】D【解析】∵集合，，∴，故选D．3．【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，∴可排除C，D．又当时，，，∴，所以可排除B，故选A．4．【答案】D【解析】∵向量，满足，，∴，解得．则．故选D．5．【答案】A【解析】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为，又因为该双曲线过点，所以，即，即为所求双曲线方程．故选A．6．【答案】B【解析】，即，，，，解得，即，，故选B．7．【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得，；执行循环体，，；不满足判断框内的条件，执行循环体，，；不满足判断框内的条件，执行循环体，，；不满足判断框内的条件，执行循环体，，；不满足判断框内的条件，执行循环体，，；不满足判断框内的条件，执行循环体，，；不满足判断框内的条件，执行循环体，，；由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为350．可得判断框中的条件为．故选B．8．【答案】D【解析】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为元、元、元、元、元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为，，，，，，所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为，故选D．9．【答案】B【解析】因为几何体是直三棱柱，，直三棱柱中，侧棱平面，，连结，，取的中点，连结，则直线与所成的角为．设，．易得，三角形是正三角形，异面直线所成角为．故选B．10．【答案】B【解析】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B．11．【答案】B【解析】定义域为的奇函数，当时，，则，则，又当时，，，故．故选B．12．【答案】B【解析】∵，∴点在以为直径的圆上，∵，，∴以为直径的圆方程为，即，由消去，得．设，∵、是椭圆与两个不同的公共点，∴，，可得．∵由图形得，∴，即，可得，得，∴，解得椭圆离心率，又∵，∴椭圆的离心率的取值范围为．本题选择B选项．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故答案为．14．【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知，当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，．故答案为4．15．【答案】1【解析】，，，，相加得，．故答案为1．16．【答案】【解析】将三棱锥补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，，则球心到平面的距离为，即，连接，则，，在三角形中，取的中点为，连接，，则，，，在直角三角形中，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三，，，，，球的表面积为．故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设为首项为，公比为，，则依题意，，解得，，所以的通项公式为，．（2）因为，所以．18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）由已知条件得，即，∴，即走公路②堵车的概率为．（2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，∴随机变量的分布列为所以．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，∴，∵矩形菱形，∴平面，∵平面，∴，∵菱形中，，为的中点．∴，即，∵，∴平面．（2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，故，，，，则，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，易知为钝角，∴二面角的余弦值为．20．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由得，又有，代入，解得，所以椭圆方程为，由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在轴，且，抛物线的方程为．（2）由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于0，设直线方程为，，联立方程得：，可知点的横坐标，即，因为，可设直线方程为，连立方程，得，从而得，若线段的中点在轴上，可知，即，有，且，解得，从而得，，直线的方程．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）依题意，，，若，则，故，故函数在上单调递增；当时，令，解得，；若，则，，故函数在上单调递增；若，则当时，，当时，，当时，；综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．（2）题中不等式等价于，即，因此，设，则，，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；因此为的极小值点，即，故，故实数的取值范围为．22．【答案】（1）方程：，曲线方程：；（2）．【解析】（1）∵（为参数），∴直线的普通方程为．∵，∴，由得曲线的直角坐标方程为．（2）∵，∴，设直线上的点，对应的参数分别是，，则，，∵，∴，∴，将，代入，得，∴，又∵，∴．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，由，可得，①或②或③，解①得：，解②得：，解③得：，综上所述，不等式的解集为．（2）若当时，成立，即，故，即，对时成立，故．
